Inferencia Estadistica

ESTIMACION E INFERENCIAS EN LA REGRESION LINEAL PARA DOS VARIABLES
POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS
EJEMPLO: Se ha analizado la relación Oferta – precio de determinado producto, durante 10 meses, obteniendo la siguiente información:
Meses | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Oferta (en miles de unidades) | 40 | 44 | 46 | 48 | 52 | 58 | 60 | 68 | 74 | 80 |
Preciounitario ($/u) | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 22 | 24 | 26 | 32 |

El primer paso, implica reconocer cual es la variable dependiente (Y) y la independiente (X). De acuerdo a la teoría económica, se conoce que la oferta depende del precio de manera directamente proporcional, en tal caso Y = Oferta, y X = Precio unitario. Esta relación se puede comprobar a través de un gráfico de dispersión X-Y,realizado en Excel.

La idea general en una regresión lineal es construir una ecuación de una recta de la forma:
Y = β1 + β2 X + u (FRP)
Donde: Y = Variable dependiente (Oferta), β1 = Intersección de la recta con el Eje Y, β2 = pendiente de la recta, X = Variable independiente (Precio) u = errores estocásticos o aleatorios
La FRP o función de regresión poblacional solamente se podríaconstruir si tenemos todos los datos de la población, pero como solo trabajamos en base a muestras, se estima la FRP a través de la Función de Regresión Muestral (FRM).
Y = β1 + β2 X + u (FRM)
Donde:
Y = Proyección de Y, β1 = estimación muestral de β1 (intersección con Eje Y), X = Variable independiente β2 = estimación muestral de β2 (Pendiente de la recta) u = errores aleatorios de laproyección = Y - Y
Y
Y

Nótese en el gráfico que para cada valor fijo de X, se tienen dos valores en el eje Y: uno dado por la regresión Y y otro valor que corresponde al valor real de Y. La diferencia entre estos dos valores, es lo que llamamos error estocástico o aleatorio u
ESTIMACION POR MCO
El método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO), establece una forma de construir la FRM, demanera que la suma de los cuadrados de estos errores sea la menor posible.
Para esto, es necesario calcular algunos datos:
xi = X - X, yi = Y - Y que se conocen como las desviaciones medias de X y Y respectivamente.
Entonces:
-------------------------------------------------
β2 =xi*yixi2 β1 =Y - β2 X Y = β1 + β2 X u = Y - Y
En el ejemplo, tendríamos:
n | Y | X | yi | xi | xi*yi| xi2 | yi2 |
1 | 40 | 6 | -17 | -12 | 204 | 144 | 289 |
2 | 44 | 10 | -13 | -8 | 104 | 64 | 169 |
3 | 46 | 12 | -11 | -6 | 66 | 36 | 121 |
4 | 48 | 14 | -9 | -4 | 36 | 16 | 81 |
5 | 52 | 16 | -5 | -2 | 10 | 4 | 25 |
6 | 58 | 18 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
7 | 60 | 22 | 3 | 4 | 12 | 16 | 9 |
8 | 68 | 24 | 11 | 6 | 66 | 36 | 121 |
9 | 74 | 26 | 17 | 8 | 136 | 64 | 289 |
10 | 80 | 32| 23 | 14 | 322 | 196 | 529 |
n=10 | | | yi= 0 | xi= 0 | xi*yi= 956 | xi2= 576 | yi2= 1634 |
| Y=57 | X=18 | | | | | |
Reemplazando en las fórmulas de los estimadores MCO, se obtiene:
-------------------------------------------------
β2 =xi*yixi2 =956576=1,66 β1 =Y - β2 X= 57- (1.66)(18) = 27.12
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De donde, la FRM sería: Y = β1+ β2 X, es decir: Y = 27.12 + 1.66 X
OJO: Aquí es importante recordar, que el valor de β2 representa la pendiente de la recta, pero también, es una medida de relación directa entre la variable X y Y. En nuestro ejemplo, se puede concluir, que por cada dólar que se aumente el precio del producto, su oferta aumentará en 1.66 miles de unidades, lo que confirma la relación directa o positiva entreOferta y Precio


ERRORES ESTOCÁSTICOS O ALEATORIOS Y HOMOCEDASTICIDAD:
Con la FRM, podemos calcular las proyecciones de Y, y compararlas con los valores originales de Y y estimar el error de proyección u:
n (datos) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Y (datos muestra) | 40 | 44 | 46 | 48 | 52 | 58 | 60 | 68 | 74 | 80 |
X (datos muestra) | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 22 |...