Inferencia

Ejercicio 7.19

Suponga que las variables aleatorias Y1,…, Yn satisfacen

Yi= βxi+ ϵi , i = 1,..., n

donde x1,…, xn son constantes fijas, yϵ1,…,ϵn son iid n (0, σ2), donde σ2 es desconocida.

a) Encontrar un parámetro estadístico suficiente de dos dimensiones para β,σ2.

Lθy =i12πσ2exp-12σ2(yi-βxi)2

=(2πσ2)-n2exp-12σ2i(yi2-2βxiyi+β2xi2
=(2πσ2)-n2exp-β2ixi22σ2exp-12σ2iyi2+βσ2ixiyi

Ahora por el teorema de suficiencia que nos dice:

“Si p (x|θ) es la f.d.p. conjunta de X y q (t|θ) es la f.d.p. de T(X), entonces T(X) es unaestadística suficiente para θ si, para todo X en el espacio muestral, la relación p (x|θ)/q (T (x) |θ) es constante en función de θ”.
Podemos decir que, (iYi2, ixiYi)es una estadística suficiente para β,σ2.

b) Encontrar el MLE de β, y demostrar que es un estimador insesgado de β.logLβ,σ2y=-n2log2π-n2logσ2-12σ2iyi2+βσ2ixiyi-β22σ2ixi2

Por un valor fijo de σ2,

∂logL∂β=1σ2ixiyi-βσ2ixi2=0 → β=ixiyiixi2

Así entonces,

∂2logL∂β2=-1σ2ixi2 <0

por lo cual decimos que es unmáximo. Porque β no depende de σ2, es el MLE. Y β es insesgado por que

Eβ=ixiEYiixi2=ixi∙βxiixi2=β

c) Encontrar la distribución de el MLE de β.

Comoβ=iaiYi, donde ai=xijxj2 son constantes. Por el corolario que nos dice:
“Sea x1,…, xn variables aleatorias mutuamente independientes con Xi~nμi,σi2. Sean a1,…, any b1,…, bn constantes fijas. Entonces
Z=i=1n(aiXi+bi)~ ni=1n(aiμi+bi),i=1nai2σi2.”

Varβ=iai2VarYi=ixijxj22σ2=ixi2(jxj2)2σ2=σ2ixi2

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