Infinito matemática

GUÍA DE COMPRENSIÓN LECTORA

INFINITO, MATEMÁTICA, PENSAMIENTO...
Matemática Primer y Segundo Ciclo
Jaime Villalobos Gajardo Correo: profesorjaimevg@gmail.com Jueves 20 Octubre 2011
Nombre del alumno:__________________Curso:_______
Instrucciones: Lea la presente Guía de Comprensión Lectora y responda las preguntas.
Objetivo: las alumnas y alumnos desarrollan competencias lingüísticas ydigitales.
Respuestas: Envíe sus respuestas al correo del profesor. Anote en Word el número de la pregunta y su respectiva respuesta y las incluye en el correo como archivo adjunto.

La pregunta por el infinito matemático hubo de permanecer en suspenso hasta la llegada de Galileo. Pues fue él quien, oponiéndose a la tradición griega y principalmente a Aristóteles, afirmó la idea de que elcontinuo estaba hecho de una infinidad de elementos materiales los cuales nombró minima o átomos, sin por lo tanto resolver las dificultades matemáticas que esta afirmación implicaba. Por su lado Kepler, Cavalieri y Torricelli, intentaron resolver los problemas del infinito matemático o infinitesimal, desarrollando el antiguo método griego de exhaustación, ideado por Eudoxo para resolver el problema delas magnitudes inconmensurables. Tales tentativas, aunque no resolvieron directamente el problema, permitieron sentar las bases de lo que luego Newton y Leibniz, al final del siglo XVII, instituirán definitivamente como cálculo o el análisis infinitesimal (en sus dos versiones: Integrales y derivadas).
Pero la cuestión acerca de la relación entre el infinito y el continuo no será verdaderamenteexplorada sino a finales del siglo XIX. Pues es gracias a los trabajos de Dedekind y Cantor, quienes propusieron por primera vez una teoría de conjuntos como base fundamental de las matemáticas, que se restableció definitivamente la cuestión del infinito actual en el campo del pensamiento científico. Pues esta vez de lo que se trata es de pensar el infinito matemático no solamente como unageneración progresiva (infinito potencial), sino como un objeto susceptible de ser directamente aritmetizado y homogeneizado en relación con las otras cantidades numéricas (infinito actual)

¿En qué consiste tal demostración?
Según Cantor, el infinito actual se define según las propiedades del Aleph sub cero (אּ0), es decir, el cardinal de N el conjunto de los números enteros naturales, el cual es elmás pequeño de los cardinales infinitos: אּ0 = Card N. Un conjunto es infinito, o es de cardinalidad infinita si y solo si su número cardinal es el mismo que el de un subconjunto propio, o si este conjunto puede entrar en correspondencia bi-univoca o de equipotencia con el cardinal de una parte de si mismo[10]. Dicho de otra manera dos conjuntos poseen el mismo número cardinal si ambos sonequipotentes. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros naturales N es infinito porque él tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números enteros naturales pares. Lo que quiere decir que para todo n que pertenece al conjunto N, 2n es equipotente con N: (N ↔ 2n). La serie de los números enteros naturales{1,2,3,4,5,6…} puede entrar en biyección con la serie de los números enteros pares{2,4,6,8,10…} De suerte que si E es el conjunto de todos los números enteros pares y N es el conjunto de todos los números enteros positivos, entonces E es un subconjunto de N. Ahora bien, ¿qué es lo que nos dice Cantor? Cantor nos enseña que todo conjunto que se pueda contar con la serie de los números enteros naturales es llamado enumerable. Es decir, si dado un conjunto cualquiera este conjunto essusceptible de entrar en biyección con el conjunto de los números enteros positivos. Así, Cantor demuestra que el conjunto de los números racionales Q es enumerable, puesto que él puede ser indexado uno a uno y de manera bi-univoca con los números enteros naturales, es decir, que existe una biyección entre N y Q.

Pero la sorpresa de Cantor es que él va a mostrar también que el conjunto de...