Infinito

PROCESOS INFINITOS


Cuando en nuestras clases de bachillerato hemos explicado los límites de sucesiones y, en particular, los límites del tipo ∞-∞, les decimos que son indeterminados, peroel concepto no está suficientemente integrado en su estructura racional. Habitualmente se les pone ejemplos de sucesiones cuyos límites nos conducen a este tipo de indeterminación y, mediante unaserie de cálculos, obtenemos los valores de esos límites.

Vamos a plantear ahora una cuestión en la que especificamos exactamente cómo se realiza el proceso de resolución de una indeterminación.Supongamos que tenemos una bolsa y un número ilimitado de bolas numeradas a partir de 1. Cuando falta una hora para el final de la clase se introducen en la bolsa las bolas numeradas del 1al 10 y retiramos la 1. Cuando falta 1/2 hora se introducen las numeradas del 1 al 20 y retiramos la 2. Cuando queda 1/3 de hora se introducen las que van del 21 al 30 y se retira la 3, y asísucesivamente. ¿Cuántas quedarán al final de la clase?

La respuesta inmediata, por parte de nuestros alumnos de bachillerato, es que habrá infinitas bolas, puesto que es como si cada vez seintroducen 9 bolas y como el proceso se repite infinitas veces, de ahí que al final de la clase deberá haber un número infinito. Aparentemente, este argumento puede parecer correcto, pero no es así.La solución correcta es que no quedaría ninguna. Debemos tener en cuenta que las bolas están numeradas, se introducen ordenadamente y se retiran según su número asociado. Por lo tanto, si quedasealguna en la bolsa al final de la clase estaría numerada con un número n y quedarían también todas las que llevaran números mayores que dicho n. Ahora bien, esa bola enésima habría sido retirada cuandofaltara 1/n de hora para terminar la clase. Como conclusión, no puede quedar ninguna.

Esto causa extrañeza en los alumnos, pues argumentan que introduciendo infinitas veces 9 bolas en una...