Infinitos más grandes que otros...

Hay una idea que ronda la cabeza de muchas personas, pero cuya formalización es particularmente difícil: la del infinito. Algunos creen que la finitud de nuestro cerebro es la que hace inalcanzabletal idea. Todo el mundo alguna vez pensó en un Universo infinito, o en que los números son infinitos, o que los puntos de la recta son infinitos. La pregunta que surgiría casi naturalmente es si todosesos infinitos son exactamente iguales, y fue lo que se planteó Georg Cantor a principios del siglo XIX.

Primero es interesante estudiar algunas propiedades de los números, especialmente cuando soninfinitos. La idea de conjunto es bastante simple: se trata de objetos que se pueden colocar juntos, como dentro de una bolsa, y que son distinguibles uno del otro, aunque sea intelectualmente.Entonces uno puede tener un conjunto de personas, por ejemplo, o un conjunto de números. En particular interesan los conjuntos de números y dentro de estos se tienen algunos más relevantes:

NúmerosNaturales, representados por la letra \mathbb{N} , formados por 1, 2, 3, 4, ...
Números Enteros, representados por la letra \mathbb{Z} , que incluyen a los naturales y agregan los negativos y el 0: ... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
Números Racionales, representados por la letra \mathbb{Q} , que incluyen a los anteriores y agregan todos los que se pueden escribir como una división: -4/5, 3/8, 1, 2, 8/3,9/5, ... Es importante destacar que cualquier número con coma, que presente una cierta periodicidad, por ejemplo 0,333333... 0,142857142857... pueden ser escritos en forma de división (1/3 y 1/7, enlos ejemplos anteriores.)
Números Reales, representados por la letra \mathbb{R} , que incluyen a los anteriores y agregan todos los demás, por ejemplo \sqrt{2} , \pi , etc. etc.
Como se puede ver,cada uno de los conjuntos de arriba es infinito, es decir que no puedo decir cuántos elementos tiene. Si alguien me dice que tal conjunto tiene n elementos, y me muestra una lista, yo siempre voy a...