Influencia del Analisis Clasico en el Analisis Funcional

Para adquirir una idea de c´omo se origin´o la teor´ıa del An´alisis Funcional, es
´util tomar en consideraci´on algunos hechos basados en la geometr´ıa cl´asica,
como los que se exponen acontinuaci´on:
² En el espacio Rn de n-plos de coordenadas reales, se pueden definir
dos operaciones: una de suma (que permite la traslaci´on) y otra de
multiplicaci´on por un escalar (o dilataci´on ensentido amplio) y estas
operaciones dotan a este espacio de una estructura de espacio vectorial,
lo cual ofrece la posibilidad de expresar algebraicamente propiedades
afines de la geometr´ıa (porejemplo, el segmento xy es paralelo al zu si
el vector y ¡ x es igual al vector u ¡ z).
² La distancia euclideana permite fundamentar la noci´on de convergencia
de una sucesi´on de puntos en Rn. Laformalizaci´on del concepto
de distancia euclideana entre dos puntos x; y como una aplicaci´on de
valores positivos definida sobre el producto cartesiano de Rn por s´ı mismo,
posee tres propiedadesmuy caracter´ısticas asociadas a la noci´on
heur´ıstica de la separaci´on entre dos puntos: la propiedad triangular,
que expresa que en todo tri´angulo XY Z, la longitud del lado XY es
menor que lasuma de las longitudes de los otros dos lados; la propiedad
de invarianza del valor de la distancia al permutar la notaci´on de los
puntos considerados y la propiedad de nulidad del valor de ladistancia
si y s´olo si los puntos coinciden.
De aqu´ı que Rn est´a dotado de una estructura m´etrica que presenta
dos propiedades b´asicas, sobre las cuales descansa la teor´ıa cl´asica
de funciones,esto es, el An´alisis Matem´atico: el teorema de Cauchy-
Bolzano (una sucesi´on es convergente si y s´olo si es de Cauchy) y el
teorema de Bolzano-Weirstrass (de toda sucesi´on acotada se puedeextraer
una subsucesi´on convergente). La suficiencia para la convergencia
en el teorema de Cauchy-Bolzano ofrece un modelo de comportamiento
de Rn que debe recuperarse en espacios m´as generales...