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INTRODUCCIÓN

En el presente informe se presenta el análisis dinámico de un robot cartesiano de 3 grados de libertad. Se comenzará realizando la cinemática del robot utilizando la nomenclatura de Denavit –Hatenberg para articulaciones prismáticas. Luego se analizará la dinámica del robot con la formulación de Lagrange, la cual es un enfoque basado en el análisis de las energías cinética ypotencial del robot con respecto a un sistema de referencia inercial. Finalmente se comprobarán los resultados obtenidos utilizando el programa MATLAB para el control de trayectoria y ver cómo la dinámica del robot afecta al esfuerzo de control. En las simulaciones se utilizó un controlador PID clásico y los resultados se plotean en el workspace del MATLAB.

ANÁLISIS DE UN ROBOT CARTESIANODE 3 GRADOS DE LIBERTAD

DESCRIPCIÓN

El robot presentado en la figura 1 es un robot cartesiano, el cual consiste básicamente en un robot con 3 articulaciones prismáticas. Cabe resaltar que este tipo de robot es utilizado principalmente en aplicaciones donde se requiere un posicionamiento preciso, ya que esta configuración permite que el robot llegue a una posición determinada dentro de suespacio de trabajo con los tornillos sin fin que tiene. Sin embargo son estos tornillos sin fin los que limitan su espacio de trabajo, razón por la cual se debe analizar cuidadosamente cuando emplear este tipo de configuración de robot.

Fig. 1 Robot cartesiano de 3 grados de libertad (sólo de referencia)
y3

z3

q3

x3
y2

z2

x2

y0

q2
z1

y1
z0

q1
x1
x0

Fig. 2Asignación de Sistemas de Referencia del Robot Cartesiano de 3 grados de libertad

ANÁLISIS CINEMÁTICO

Se presenta a continuación los parámetros de Denavit – Hatenberg para el robot de la figura 1:

Tabla 1 Parámetros D-H del robot de la figura 1
Articulación | Θ | d | a | α |
1 | 0 | q1 | 0 | -90° |
2 | 90 | q2 | 0 | 90° |
3 | 0 | q3 | 0 | 0 |

Las matrices de DenavitHatenberg obtenidas son:

0T1=100000100-10q10001
1T2=00101000010q20001

2T3=10000100001q30001

Por lo tanto la Cinemática Directa del Robot Cartesiano es:

0T3=0T1*1T2*2T3=001q3010q2-100q10001

Por simple inspección hallamos la Cinemática Inversa del Robot:

px=q3

py=q2

pz=q1

Hallamos la matriz Jacobiano del Robot:

JL=00-1010100

Jw=0-1-1100000

Cálculo de la EnergíaCinética del Robot

La expresión de la energía cinética del robot viene dado por:

T=12m1vc12+12m2vc22+12m3vc32

Ingresamos las posiciones de los respectivos centros de masa de los eslabones:

xc1=0
yc1=0
zc1=q1

xc2=0
yc2=q2
zc2=q1

xc3=-q3
yc3=q2
zc3=q1

Calculamos los respectivos Jacobianos:

JL1=000000100
JL2=000010100
JL3=00-1010100

Calculamos las velocidades delos centros de masa:

vc1=[00q1]

vc2=[0q2q1 ]

vc3=[-q3q2q1]

Los módulos de las velocidades son:

vc12=q12

vc22=q12+q22

vc32=q12+q22+q32

La energía cinética es:

T=m1q122+m2q122+m2q222+m3q122+m3q22+m3q322

Se sabe que:

T=12qTHq=q12H112+q1q2(H12+H21)2+q1q3(H13+H31)2+q22H222+q2q3(H23+H32)2+q32H332

Como H es una matriz simétrica, tenemos:

H11=m1+m2+m3

H22=m2+m3H33=m3

Cálculo de la matriz C
H12=H21=H13=H31=H23=H32=0

Para obtener la matriz C necesitamos obtener los coeficientes:

Se aprecia que la matriz H no depende de q, por lo tanto:
hijk=0 ; i,j,jk=1,2,3
Por lo tanto la matriz C termina siendo:
C=000000000

Cálculo de la matriz G

La matriz G que representa la energía potencial del robot es la siguiente:G1=m1gTJL11+m2gTJL12+m3gTJL13

G2=m1gTJL21+m2gTJL22+m3gTJL23
G3=m1gTJL31+m2gTJL32+m3gTJL33

G=-m1g00

Tenemos los principales parámetros que necesitamos para poder realizar las simulaciones en MATLAB. Los m-files se presentan a continuación:

Codificación en MATLAB

Primero se debe correr el programa parametros.m para inicializar los diferentes valores de longitudes y los parámetros del PID:...