Informática para todos

Simulación del número Pi
Método de simulación de Montecarlo y Buffon
Trabajo para Simulación de Sistemas














Introducción

Una gran cantidad de problemas de la cotidianidad pueden ser abarcados por diversos métodos de simulación, lo que permite hoy en día solucionar estos y determinar acciones en torno a los resultados, teniendo en cuenta la exactitud a la cual puedenllegar a tener. Una de las inquietudes que se ha tenido a lo largo de la historia, es la determinación del valor del número Pi, donde muchos matemáticos han tratado de encontrar con mayor exactitud el valor de este número.
En este informe se abarcará el tema del número Pi, aplicando dos métodos de simulación que permitirán evidenciar resultados aproximados al valor ideal, demostrandográficamente los comportamientos de las simulaciones correspondientes.

Historia del número Pi

Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historiaen el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.
Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban unaestrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo),pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los mas antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.
Labiblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los mas llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculoun cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.
Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente endoblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.
Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.
Obtieneluego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes".
Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10' en 10' y...