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Funciones afín y cuadrática
Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la variable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función afín es una línea recta no vertical.
Tn
y

Si representamos la sucesión T(n), de los fósforos, se obtienen los puntos que marcamos en la gráfica y observamosque éstos están alineados.

1 0 1

n

Si utilizamos en vez de n una variable real x, la representación de esta función da una recta.

f(x)=
1 0 1

x 2

1 2

Veamos otra situación:

Al número que corresponde al área de un cuadrado le resto cinco cuartos del número que corresponde a su perimetro. Si resulta -6, ¿podré determinar las dimensiones del cuadrado?

El área del cuadrado delado x es x2 y su perímetro es 4x. Por lo que la ecuación queda de la siguiente forma: x2 5 5 (4x) = -6 => x2- (4x) = -6 4 4 x2 - 5x =-6
Ecuación de segundo grado o cuadrática

x

2 Si aplicamos la fórmula -b ± b - 4ac para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,

b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadradosque cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3.
y

2a

-5x+6

La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice que es una ecuación de grado 2 (o cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se denomina función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática es una parábola. En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0
Parábola Rock Armenia.

1 0 1
Raíces de la ecuación x2-5x+6=0

Gráfic a

de f(x

) = x2x

y a>0

Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x.
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Ecuaciones cuadráticas
Grafiquemos algunas funciones de grado 2a los fines de observar si las mismas cortan el eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raíces correspondientes a la ecuación cuadrática.

f(x)=-x2-5x-7
y
-1 0 1

y x

f(x)=(x-1)2

1 0

1
Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0

x

La ecuación -x -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0
y

2

La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0
y
0-1 1

f(x)=x2-3x-4

f(x)= -(2x)2-2x
x

Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0

1 0 1
Raíces de la ecuación x2-3x-4=0

x

∆ = 25 > 0

∆=4>0

Las ecuaciones y los conjuntos numéricos. Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,... y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podían resolverse, es decir tenían solución en el conjunto N,mientras que otras no. De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2, -2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b. Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienen solución en , se construye el conjunto Q de los números racionales o a y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0, fracciones, b ,a b a > 0 queno tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de los números reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas las ecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construye el conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuaciones algebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.

x+3=5 x+5=2 3x = 18 2x = 1

Solución x = 2 No tienesolución en IN Solución x = 6 No tiene solución en

x2 - 2 = 0 x2 + 1 = 0

Sin solución en Q Sin solución en

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Partenón, Grecia. El cociente del ancho de su fachada entre su altura es aproximadamente igual a . Esta misma relación existe en los lados de los rectángulos que se forman con dos columnas...