Informacion

PROBABILIDADES
Definición

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto deresultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.DISTINTOS TIPOS DE SUCESOS
• Suceso elemental es el suceso formado por un solo punto muestral
• Suceso compuesto es el suceso formado por dos o más puntos muestrales.
• Suceso cierto (o suceso seguro) es el que siempre se realiza. Está formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E.
• Suceso imposible es el que no se realiza nunca. Se designa por ∅ y no tieneningún elemento.

Ejemplo. En el experimento consistente en lanzar un dado:
Sucesos elementales: {1} {2}{3} {4} {5} {6}
Algunos sucesos compuestos: A={1,2} B={4,3,2} C={1,3,5,6}
Suceso cierto: E={1,2,3,4 ,5,6}
Suceso imposible: ∅

Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se llama suceso contrario (o complementario) del suceso A al suceso que se realiza cuando no se realiza A, yrecíprocamente.

El suceso contrario de A se representa por Ac (o también A' o A ).
El suceso Ac está formado por los puntos muestrales de E que no pertenecen a A.

Operaciones con Sucesos
Llamamos suceso unión de A y B ( A∪B ) al suceso que se realiza cuando se realizan A ó B. El suceso A∪B contiene todos los elementos de A y todos los de B.
Llamamos suceso intersección de A y B ( A∩B ) alsuceso que se realiza cuando se realizan simultáneamente A y B. El suceso A∩B está formado por los elementos comunes de A y B.

Ejemplo. Sea el experimento consistente en lanzar un dado.

Si A={1,2,5} y B={2,3,5} , entonces A∪B={1,2,3 ,5} y A∩B={2,5}

* Permutaciones

Permutaciones (u ordenaciones) con repetición
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho tomaneste nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORnr ó nORr.
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4. En este caso r=2 y n=4.Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc,dd. En total son 16. |
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n r

Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pnr ó nPr.
Porejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición se pueden obtener?Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total. |
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr =

* Combinaciones
Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos. Es decir, es laobtención de subconjuntos, de r elementos cada uno, a partir de un conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con Cnr, nCr ó .
Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos de 2 elementos cada uno se pueden obtener?Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}. Son seis los subconjuntos. |
En general, si de n objetos dados se hacen...