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4. Derivabilidad1
Una funci´n f es derivable en un punto a de su dominio si existe el l´
o
ımite
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= l´
ım
,
x→ a
h→0
x−a
h

f (a) = l´
ım

y es un n´mero real. El n´mero f (a) se denomina derivada de f en a.
u
u
Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. El rec´
ıproco no es cierto: hay funciones
continuas en un punto no derivables enese punto.
Geom´tricamente, la derivabilidad de f en a significa la existencia de la recta tangente
e
a la gr´fica de la funci´n f en el punto (a, f (a)); en este caso, la ecuaci´n de la recta
a
o
o
tangente es
y = f (a) + f (a)(x − a).
As´ pues, f (a) es la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (a, f (a)).
ı
a
La funci´n correspondiente a la tangente x → f (a)+ f(a)(x − a) es una funci´n polin´mica
o
o
o
de primer grado que aproxima la funci´n f cerca del punto a.
o
Las siguientes propiedades expresan el comportamiento de la derivaci´n respecto a las
o
operaciones.
Si f y g son derivables en a, entonces f + g es derivable en a y
(f ± g ) (a) = f (a) ± g (a).
Si f y g son derivables en a, entonces f g es derivable en a y
(f g ) (a) = f (a)g (a)+ f (a)g (a).
Si f y g son derivables en a y g (a) = 0, entonces
(f /g ) (a) = (f (a)g (a) − f (a)g (a))/g (a)2 .
(Regla de la cadena) Si f es derivable en a y g es derivable en f (a), entonces g ◦ f
es derivable en a y
(g ◦ f ) (a) = g (f (a))f (a).
Sea f una funci´n de dominio D y sea D el conjunto de puntos de D en los que la funci´n
o
o
f es derivable. La funci´n f : D → R que hacecorresponder a cada punto x ∈ D el
o
valor f (x) de la derivada de f en x se denomina funci´n derivada o derivada de f . Si f
o
es tambi´n una funci´n derivable, su derivada se denota por f y se denomina segunda
e
o
derivada de f . Recurrentemente, la n-´sima derivada de f , denotada f (n) , es la derivada
e
de la funci´n f (n−1) .
o
1

Extracto del libro “C´lculo para Ingenier´inform´tica”, por Jos´ A. Lubary y Josep M. Brunat,
a
ıa
a
e
Edicions UPC Temes Clau 08, 2008

1

Tabla de derivadas
Para facilitar consultas, incluimos una tabla con las derivadas de las funciones elementales.
En ella, f (x) es de la forma f (x) = g (u(x)) para ciertas funciones u y g . Impl´
ıcitamente,
se suponen las condiciones de existencia y derivabilidad de las funcionesinvolucradas.
f

f

(k ∈ R)

arc cos u

√
−u / 1 − u2

kuk−1 u

(0 = k ∈ R)

arctan u

u /(1 + u2 )

loga u

u /(u ln a)

(a > 0)

senh u

u cosh u

au

u au ln a

(a > 0)

cosh u

u senh u

sen u

u cos u

cos u

−u sen u

f

f

k

0

uk

u / cosh2 u
√
arg senh u u / u2 + 1
√
arg cosh u u / u2 − 1
tanh u

u / cos2 u
√
arc sen u u / 1 − u2tan u

arg tanh u u /(1 − u2 )

Funciones potenciales-exponenciales
Las funciones del tipo f (x) = u(x)v(x) , donde u y v son funciones, se denominan
potenciales-exponenciales.
Para calcular la derivada de f (x) = u(x)v(x) se utiliza la llamada derivaci´n logar´tmica.
o
ı
v (x)
Supongamos que u y v son funciones derivables y que f (x) = u(x)
toma valores
positivos. Tomando logaritmos,obtenemos ln f (x) = v (x) ln u(x). Derivando ambos
miembros de la igualdad, se obtiene
u (x)
f ( x)
= v (x) ln u(x) + v (x)
,
f (x)
u(x)
de donde
f (x) = u(x)v(x) v (x) ln u(x) + v (x)u(x)v(x)−1 u (x).
Una regla mnemot´cnica para recordar la f´rmula anterior consiste en derivar f (x) =
e
o
v (x)
u(x)
primero como si u(x) fuera constante, lo que da el primer sumando, y despu´s
ecomo si v (x) fuera constante, lo que da el segundo sumando.

Monoton´
ıa
Sea f una funci´n e I un intervalo (de cualquier tipo) contenido en el dominio de f .
o
La funci´n f es creciente (resp. estrictamente creciente ) en I si, para todo x1 , x2 ∈ I ,
o
x1 < x2 implica f (x1 ) ≤ f (x2 ) (resp. f (x1 ) < f (x2 )). La funci´n f es decreciente (resp.
o
estrictamente decreciente ) en I...