Informando te


Tarea 4
Algebra Lineal, MAT 1203
10 de Abril de 2013
Fecha de Entrega: Hasta Lunes22de Abril 14:00

Nombre Integrante 1:Martín Lira
Nombre Integrante 2: Benjamín Searle
Nombre Grupo:LiraSearle


El archivo de instrucciones es una versión PDF de este archivo

La tarea no se corrige completa. Se corrigen los mismos problemas para todos los alumnos.

Resuelva los siguientesproblemas de laGuia 33 (necesita estar autentificado previamente en el sitio www.labmat.puc.cl para que el link abra)

1) Problema 40
a) Determine PA=LU

Si A = P =

PA =

(F2 F2 – 2F1) ^ (F3 F3 – F1) ~

L = U =

PA = LU:

=


b) Usando la factorización encontrada, resuelva el sistema Ax = b donde b = (1, 3, 2)
Ax = b / P*
PAx = Pb
Haciendo cambio de variable PA=C yPb=y:
Cx=y
y = =
Pero,
C=LU
LUx= y
Cambio de variable Ux = z:
Lz = y
~ z=
Ux = z







c) Usando la factorización, determine eficientemente los valores de α y β tales que ATx = b, con b = (1,2,3,α,β)T, tiene solución.
PA = LU / ( )T  AT PT = UT LT
PT = P = P-1
AT = UT LT P / *x  ATx = UT LT Px = b
UT LT Px = b
Cambio de variable LT Px = y:
UT y= b
UT =Por lo tanto, para que el sistema no sea inconsistente:



2) Problema 42 (lea el ejemplo 8 página 41 de apuntes , publicados en sitio web del curso)

L= U=

a) Ax = b, con b = (1,1,1)T

Como A=LU, entonces

LUx=b
=

Resolviendo sin calcular A, tenemos que: Ux=y
Ly=b

Primero desarrollamos Ly=b para obtener el vector“y”,
=

, por lo tanto obtenemos (desarrollandola matriz ampliada), que el vector
“y”=

Ya tenemos el vector “y”, entonces procedemos a calcular Ux=y,
=



Y desarrollando la matriz ampliada, obtenemos que “x”= .

b) La Primera columna de

Para obtener la columna 1 de A, sin calcular A ocupamos: =



A=LU, entonces


/ multiplicamos por U
/multiplicamos por L (por la izq.)


Ahora ocupamos U= y, entoncesqueda: Ly = .

Primero resolveremos Ly=:
=

y desarrollando la matriz ampliada obtenemos que el vector “y” =

Ahora, sabiendo que U= y, reemplazamos el vector “y”,

Entonces, = . Con

, Así, desarrollando la matriz ampliada obtenemos la columna 1 de A:


c) Segunda fila de :

Sabemos que con podemos obtener la fila 2 de A, sin calcular la matriz.

Luego, sabiendo queA=LU, y al aplicar la trasposición:

Obtenemos:


Al igual que en el ejercicio b), definimos

Desarrollamos la transformación:

Y al desarrollar la matriz ampliada, obtenemos que el vector



Y ahora, conociendo el vector “y”, desarrollamos .

Y al desarrollar la matriz mpliada, obtenemos que el vector “


d) , con

Para simplificaralgo el ejercicio,definiremos lo siguiente:

, luego:
Definimos , entonces nos queda que:
Ahora, sabemos que A=LU, entonces
Definimos , por lo que nos queda

Ahora, comenzamos a desarrollar; primero




Ya conociendo el vector “y”, pasamos a desarrollar





Ahoraconociendo el vector “u”, pasamos a desarrollar:





, desarrollando nos queda


Y, por ultimo, conociendo el vector “v”,desarrollamos:






Y así nos queda finalmente que x= (-1, -3/2, 2)T



e)

Como sabemos que A=LU, entonces



Luego definimos lo siguiente:




Primero resolvemos



Luego, conociendo el vector “y”:
Resolvemos :



f)

En este caso definimos:



; entonces


Primero desarrollamos:





Luego, conociendo el vector “y”, desarrollamos:Luego, conociendo el vector “u”, desarrollamos:

. Sabiendo que A=LU, entonces
, entonces



Y finalmente, conociendo p, resolvemos:





Y así nos queda que: x= (3/2, -2, 2)T .



3) Demuestre que si es antisimétrica de entonces para todo






=

Como A es antisimétrica, se cumple que:

Por lo tanto cada termino acompañado de un y variables se eliminará con el...