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Publicado: 5 de octubre de 2013
Teorema del binomio
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia enzima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en el término de xbyc esconocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representadoocasionalmente como o) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas deescoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Ejemplo
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientesdel triángulo de Pascal:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teoremageneralizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número real (enparticular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(El k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, yaque los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los...
En matemática, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de la potencia enzima de n (siendo n, entero positivo) de un binomio. De acuerdo con elteorema, es posible expandir la potencia (x + y)n en una suma que implica términos de la forma axbyc, donde los exponentes b y c son números naturales con b + c = n, y el coeficiente a de cada término esun número entero positivo que depende de n y b. Cuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término. Por ejemplo,
El coeficiente a en el término de xbyc esconocido como el coeficiente binomial o (los dos tienen el mismo valor).
Formulación del teorema
Este teorema establece: Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representadoocasionalmente como o) se obtiene la siguiente representación:
El coeficiente de en el desarrollo de es
Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas deescoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema del binomio se expresa en la siguiente variante:
Ejemplo
Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4, utilizando los coeficientesdel triángulo de Pascal:
(2)
Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
Teoremageneralizado del binomio (Newton)
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:
(3)
Donde r puede ser cualquier número real (enparticular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
(El k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, yaque los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).
Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los...
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