Informatica

2. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie n=1∞Cnxn
A. y´+y=0
Solución.
y= n=0∞Cnxn
y´= n=1∞nCnxn-1
→n=1∞ nCnxn-1 + n=0∞Cnxn = 0
En laecuación n=1∞nCnxn-1 ; si hacemos k = n-1, entonces n= k+1, remplazando:
k=0∞(k+1)Ck+1xk
En la ecuación n=0∞Cnxn ; k = n tenemos:
k=0∞Ckxk
→k=0∞(k+1)Ck+1xk + k=0∞Ckxk = 0
k=0∞xkk+1Ck+1+Ck = 0Obtenemos la formula:
k+1Ck+1+Ck=0→Ck+1=-Ckk+1 ;para k≥0
si k=0→C1=-C11 ; C1=-C0
si k=1→C2=-C12; C2=--C02;C2= C02
si k=2→C3= -C23; C3= -C02.3; C3= -C03!
si k=3→C4= C34 ; C4= C02.3.4; C4=C04!
sik=4→C5= -C45; C5=-C02.3.4.5; C5= -C05!
entonces teniendo en cuenta el anterior analisis podemos concluir:
n=0∞(-1)n+1C0n+1!
luego la solucion de la ecuacion y´+y=0 es:
C0n=0∞-1n+1n+1!

3.Mediante serie de potencias resolver la ecuación diferencial y escribirla en forma de serie.

(X+1) y’ – (x+2) y = 0

Solución:

x+1y’ – x+2y = 0; entonces; xy’ + y’ – xy – 2y = 0
y = n=0∞Cnxny = n=1∞nCnxn-1; sustituimos en la ecuación inicial

xn=1∞nCnxn-1+ n=1∞nCnxn-1– x n=0∞Cnxn- n=0∞2Cnxn= 0

n=1∞xnCnxn-1+n=1∞nCnxn-1-n=0∞xCnxn- n=0∞2Cnxn= 0

n=1∞nCnxn+ n=1∞nCnxn-1- n=0∞Cnxn+1-n=0∞2Cnxn= 0

n=1∞nCnxn+ 1C1 + n=2∞nCnxn-1- n=0∞Cnxn+1– 2C0–n=1∞2Cnxn= 0
a) b) c) d)
Para a)n = k;entonces: k=1∞kCkxk
Para b) k= n-1, entonces n= k+1; es decir: k=1∞(k+1)Ck+1xk
Para c) k= n+1; entonces n = k-1; es decir: k=1∞Ck-1xk
Para d) k= n; entonces: k=1∞2Ckxk

Teniendo en cuentalos análisis a); b); c) y d); obtenemos:
k=1∞kCkxk+ C1 + k=1∞(k+1)Ck+1xk- k=1∞Ck-1xk– 2C0 –
k=1∞2Ckxk= 0
C1 – 2C0 + k=1∞kCk+k+1Ck+1-Ck-1-2Ckxk= 0
Encontramos la relación de recurrencia o relaciónrecursiva
C1 – 2Co = 0; entonces: C1 = 2Co
kCK + (k+1)Ck+1 – Ck-1 – 2Ck = 0
(k+1)Ck+1 = Ck-1 + 2Ck - kCk
Ck+1 = Ck-1+ Ck (2-k)k+1; donde k ≥ 1
Para k=1; entonces C2 = C0+ C1 (1)2 = C0+2C02;...