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MATEMATICA
Psd_2012

II UNIDAD
PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES
2.6

Razón y Proporción
Sean las alturas de dos antenas de telefonía:
Antena 1 = h1 = 50 metros = 50 [m]
Antena 2 = h2 = 25 metros = 25 [m]
Entonces, comparemos estas cantidades y para ello tenemos dos formas, por:
Diferencia:

Cuociente:

Antena 1 es más alta que la antena 2, o bien, la antena 2 es menos
alta que laantena 1, o bien, la antena 2 es más baja que la antena
1.
Altura antena 1 es a la altura de la antena 2, o bien, altura antena
2 es a la altura de la antena 1.

Esta última forma o idea de comparar las cantidades, nos permite escribir la
expresión:

h1 50 [m]
h
2
=
; simplificando cantidades y unidades, se tiene: 1 = , o tb.
h2 25 [m]
h2 1
h2 25 [m]
h
1
=
; simplificandocantidades y unidades, se tiene: 2 =
h1 50 [m]
h1 2
Observamos que en el:
Primer caso, por cada 2 [m] de altura antena 1, la altura de la antena 2 es 1 [m]
Segundo caso, por cada 1 [m] de altura antena 2, la altura de la antena 1 es 2 [m]
-

-

Además, se advierte en ambos casos, que las unidades han sido
2
1
y , la expresión final es adimensional (sin
simplificadas, es decir,
1
2dimensión).
Es claro darse cuenta que, la dirección o el sentido en que comparamos las
cantidades en cuestión, es muy importante, por cuanto su interpretación y
significado es distinto en cada caso.

Pues bien, podemos decir que:
Razón: Es una comparación entre dos cantidades, ya sea por cuociente o por
diferencia de las mismas.
50
Así entonces, la razón
; se lee: 50 es a 25
25
25
; se lee:25 es a 50
50

Patricio Sandoval Droguett
Profesor

1

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Términos de una Razón
Sea la razón:

a ⇒ antecedente
3 ⇒ antecedente
, Ejemplo:
b ⇒ con sec uente
4 ⇒ con sec uente

Ejercicio:
Sean los antecedentes y consecuentes: 5 , 4 , 9 y 25 , 48 , 63, respectivamente.
Escribir las razones correspondientes.
Expresión

Se lee

Proporción: Es una igualdadentre dos o más razones.
Simbólicamente, se denota por:
a
c
= , o también se puede escribir: a : b = c : d
b d

Términos de una Proporción
Sea la proporción:

a
c
= , o escrita como: a : b = c : d
b d

Medios
Extremos
Ejemplo: En la proporción sus extremos y medios son:
16 28
⇒ 16 : 20 = 28 : 35 ⇒ 16 y 35 Extremos, 20 y 28 Medios
=
20 35

Teorema fundamental de lasProporciones
En toda proporción, se cumple que:
El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos
medios.
Esto es:

a
c
⇔ a ⋅ d = b ⋅ c ; ∀a, b, c, d ∈ ℜ; b ≠ 0, d ≠ 0
=
b d

16 28
⇔ 16 ⋅ 35 = 20 ⋅ 28
=
20 35
560 = 560
16 28
Por tanto, las razones
forman una proporción.
y
20 35
El teorema en cuestión nos permite calcular el término desconocido en todaproporción. Ejemplo: Sea la proporción 8 : x = 24 : 30. ¿El valor de x es?

Ejemplo:

Patricio Sandoval Droguett
Profesor

2

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Ejercicio:
Determina cuáles de las razones siguientes forman una proporción:
18 162
383 1532
73 438
a)
y
b)
c)
y
y
23 161
15
60
79 473
Solución: Debemos aplicar el Teorema Fundamental.
Propiedades de las Proporciones
Sea laproporción

a c
=
b d

con los valores

2 4
=
3 6

, sobre la cual se aplican

las siguientes propiedades:
Propiedad

Aplicación

b
a
d
b
a
c
c
d

Se invierten las razones
Se intercambian los extremos
Se intercambian los medios
Se permutan las razones

d
c
c
=
a
b
=
d
a
=
b

=

Ejemplo

3
2
6
3
2
4
4
6

6
4
4
=
2
3
=
6
2
=
3
=Verificación

3⋅ 4 = 2⋅ 6
6 ⋅ 2 = 3⋅ 4
2⋅6 = 4⋅3
4⋅3 = 6⋅2

Otras Propiedades Importantes
Sea la proporción

a c
=
b d

con los valores

2 4
=
3 6

, sobre la cual se aplican

las siguientes propiedades:
Componer y
comparar con los
Antecedentes
Consecuentes

Descomponer y
comparar con los
Antecedentes
Consecuentes

Componer
y
Descomponer

Patricio Sandoval Droguett...