informatica

Cap¶
³tulo 1
Funciones de varias variables:
L¶
³mites y continuidad
Problemas resueltos
Salvador Vera Ballesteros
www.satd.uma.es/matap/svera

1.1
1.1.1

Campo de de¯nici¶n. Curvas de nivel
o
Campo de de¯nici¶n:
o

De¯nici¶n 1.1 (Funci¶n de dos variables) Dada dos subconjuntos no vacios D ½ R2 e
o
o
I ½ R. Si a cada par de n¶ meros reales (x; y) perteneciente al conjunto D sele pone en
u
correspondencia, seg¶n una regla determinada f, un y s¶lo un elemento z de I, z = f (x; y),
u
o
se dice que sobre el conjunto D se ha de¯nido la funci¶n f con el conjunto de valores I.
o
Esto se expresa de cualquiera de las formas siguientes:
f

D ¡! I

o bien

f : D ¡! I

siendo z = f(x; y)

o bien, sin hacer referencia al conjunto I:
f

D ½ R2 ¡ R
!

o bienf : D ½ R 2 ¡! R

siendo

z = f(x; y)

De¯nici¶n 1.2 (Campo de de¯nici¶n) El conjunto D, formado por todos los pares (x; y)
o
o
a los que la funci¶n asigna imagen f (x; y), se llama dominio o campo de de¯nici¶n de la
o
o
funci¶n; y el conjunto I, compuesto por todos los n¶meros del tipo f(x; y), donde (x; y) 2 D,
o
u
se denomina imagen o conjunto de valores de la funci¶n.
o
Engeneral, el dominio de una funci¶n de dos variables vendr¶ determinado por una regi¶n del
o
a
o
plano.
De¯nici¶n 1.3 (Dominio impl¶
o
³cito) Cuando la funci¶n viene de¯nida por una f¶rmula z =
o
o
f(x; y) y no se indica el correspondiente dominio D, se sobreentiende que el dominio viene
impl¶
³cito en la f¶rmula, y est¶ formado por todos los pares (x; y) para los cuales la f¶rmula
o
ao
tiene sentido.
1

2 CAP¶
ITULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L¶
IMITES Y CONTINUIDAD
De¯nici¶n 1.4 (Gr¶¯ca de una funci¶n) La representaci¶n geom¶trica de la funci¶n z =
o
a
o
o
e
o
f(x; y) en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz, en general, es una super¯cie del espacio.
G = f(x; y; z) 2 R 3; z = f(x; y); (x; y) 2 Dg o bien G = f(x; y; f(x; y))g
De¯nici¶n 1.5(Funciones de m¶s de dos variables) Las funciones de tres o m¶s variao
a
a
bles se de¯nen de manera an¶loga a como se han de¯nido las funciones de dos variabes.
a
f

D ½ Rn ¡! R

1.1.2

o bien

f : D ½ Rn ¡ R
!

siendo

w = f(x; y; z; ¢ ¢ ¢ ; t)

Curvas de nivel:

De¯nici¶n 1.6 (Curvas de nivel) Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio
o
donde la funci¶n esconstante, las curvas de altura constante sobre la gr¶¯vca de la funci¶n.
o
a
o
La ecuaci¶n de las curvas de nivel viene determinada por f(x; y) = C
o
Para determinar, en general, la ecuaci¶n de la familia de curvas de nivel, suponemos que z es
o
constante dentro de la ecuaci¶n: f(x; y) = z. Asignando a z diferentes valores obtendremos
o
diferentes curvas de nivel.
De¯nici¶n 1.7(Super¯cies de nivel) Si la funci¶n es de tres variables, las super¯cies de
o
o
nivel vendr¶n determinadas por la ecuaci¶n f(x; y; z) = C
a
o
Ejemplo 1.1 Hallar el campo de de¯nici¶n de las funci¶nes:
o
o
p
1
(a) z = a2 ¡ x2 ¡ y2 (b) z = 2
(c) z = a2 ¡ x2 ¡ y2
2 ¡ y2
a ¡x
Soluci¶n:
o
.
(a) Al tratarse de un polinomio, la funci¶n est¶ de¯nida para cualquier par de valores (x; y),
o
aluego el dominio de la funci¶n es todo R2
o
(b) Para que la funci¶n est¶ de¯nida el denominador ha de ser distinto de cero, es decir,
o
e
2
2
2
a ¡ x ¡ y 60, o bien x2 + y2 6a2, o sea, el campo de de¯nici¶n de la funci¶n dada
=
=
o
o
es todo el plano a excepci¶n de la circunferencia de radio a y centro en el origen de
o
coordenadas.
(c) Para que la funci¶n est¶ de¯nida el radicando hade ser positivo o cero, es decir, a2 ¡ x2 ¡
o
e
2 ¸ 0, o bien x2 + y 2 · a2 , o sea, el campo de de¯nici¶n de la funci¶n dada es un c¶rculo
y
o
o
³
de radio a con centro en el origen de coordenadas incluyendo la circunferencia frontera.
y
.
x ¡ y2
Soluci¶n: Para que la funci¶n est¶ de¯nida tiene que ser x ¡ y2 > 0, o sea, x > y2 . El campo
o
o
e
de de¯nici¶n de la funci¶n es la...