Informatica

C APÍTULO

5
La derivada

1

5.2 La derivada de una función
A continuación trataremos uno de los conceptos fundamentales del cálculo, que es el de la derivada.
Este concepto es un límite que está estrechamente ligado a la recta tangente, a la velocidad instantánea y en general a la razón de cambio de una variable con respecto a otra.
f .x/ f .x0 /
, lo denominamos la derivada de lafunción f en el punto x0
x !x0
x x0
y decimos que la función f es derivable en el punto x0 .

Cuando existe el límite lím

f .x/
x !x0
x

Al límite lím

f .x0 /
lo denotamos por f 0 .x0 /. Es decir:
x0
f .x/
x !x0
x

f 0 .x0 / D lím

f .x0 /
:
x0

Alternativamente si hacemos x x0 D h [una translación de coordenadas en que el nuevo
origen es el punto .x0 ; 0/] o sea x D x0 Ch, podemos escribir:
f .x0 C h/
h!0
h

f 0 .x0 / D lím

f .x0 /

:

A veces se usa x (incremento de x ) en lugar de h; también se usa y en lugar de f .x0 C x/
f .x0 / en cuyo caso:
y
f 0 .x0 / D lím
:
x !0 x
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

2

Cálculo Diferencial e Integral I
Si no existe f 0 .x0 /, afirmamos que la función f no es derivable en x0 o bien que lafunción f
no tiene derivada en x0
Otras notaciones para f 0 .x0 / son:
df .x/
dx
A la razón

y def f .x/
D
x
x

,
x Dx0

df
dx

,
x Dx0

f .x0 /
f .x0 C h/
D
x0
h

Ejemplo 5.2.1 Demostrar que la función f .x/ D 3x 2

dy
dx

f .x0

4x

, y 0 .x0 / :
x Dx0

se le denomina cociente diferencial.

5 es derivable en x0 D 2.

H Demostraremos la existencia def 0 .x0 / D f 0 .2/:
f .x0 C h/ f .x0 /
)
h!0
h
f .2 C h/ f .2/
Œ3.2 C h/2 4.2 C h/ 5
0
) f .2/ D lím
D lím
h!0
h!0
h
h
3.4 C 4h C h2 / 8 4h 5 12 C 8 C 5
D lím
D
h!0
h
12 C 12h C 3h2 12 4h
8h C 3h2
D lím
D lím
D
h!0
h!0
h
h
h.8 C 3h/
D lím
D lím .8 C 3h/ D 8 C 3.0/ D 8 I
h!0
h!0
h
0
f .2/ D 8 :
f 0 .x0 / D lím

Œ3.2/2

4.2/

5

D

Luego f 0 .2/existe, por lo cual f es una función derivable en x0 D 2. Además la derivada de f en
x0 D 2 es f 0 .2/ D 8.
Ejemplo 5.2.2 Si f .x/ D 4 x 2 , usando la definición de derivada, calcular f 0 .a/. Calcular también, usando
lo anterior, f 0 . 2/ y comprobar que f 0 .1/ D 2.
H Calculamos el cociente diferencial:
f .x/
x

f .a/
.4 x 2 / .4 a2 /
4 x 2 4 C a2
x 2 C a2
D
D
D
D
a
xa
xa
xa
.x 2 a2 /
.x a/.x C a/
D
D
D .x C a/ si x a ¤ 0, esto es, si x ¤ a:
xa
xa

Así:

f .x/ f .a/
D lím Œ .x C a/ D 2 a:
x !a
x !a
xa
Hemos demostrado por lo tanto que, en todo punto Œa; f .a/ D .a; 4 a2 /, la función es derivable y
su derivada es f 0.a/ D 2 a.
f 0 .a/ D lím

Concluimos con esto que f 0 .x/ D
2

2x para x 2 R .

5.2 La derivada de una función

3

Usando esteresultado, tenemos que
f 0 . 2/ D 4I
f 0 .1/ D 2 :

Ejemplo 5.2.3 Sea f .x/ D

p
2x C 1. Encontrar f 0 .a/ con a 2 Df D

1
; C1 .
2

H Calculamos el cociente diferencial del cual obtendremos el límite:
p
p
p
p
p
p
2x C 1
2a C 1
2x C 1
2a C 1
2x C 1 C 2a C 1
f .x/ f .a/
p
p
D
D
D
xa
xa
xa
2x C 1 C 2a C 1
2.x a/
.2x C 1/ .2a C 1/
p
p
p
p
D
D
D
.x a/. 2x C 1C 2a C 1/
.x a/. 2x C 1 C 2a C 1/
2
p
si x a ¤ 0, esto es, si x ¤ a.
Dp
2x C 1 C 2a C 1
Así:

f .x/
x !a
x

f .a/
2
p
D
D lím p
x !a
a
2x C 1 C 2a C 1
2
2
1
p
Dp
Dp
Dp
:
2a C 1 C 2a C 1
2 2a C 1
2a C 1

f 0 .a/ D lím

1
1
. Vemos que
2 Df , pero
2
2
1
ahí la función f no es derivable; de hecho ni siquiera está definida a la izquierda de
.
2
Ejemplo5.2.4 Demostrar que la función g.x/ D j x j no es derivable en el origen.

Esta última expresión sólo tiene sentido si 2a C 1 > 0, es decir, si a >

H Demostraremos la no existencia de g 0 .x0 / en x0 D 0.
g.x/ g .x0 /
)
x !x0
x x0
g.x/ g .0/
jx j j0j
jxj
) g 0 .0/ D lím
D lím
D lím
D‹
x !0
x !0
x !0 x
x0
x
g 0 .x0 / D lím

jxj
jx j
& lím
. Recuerde que ya lo hicimos en el...