informatica

Introducción
Con pocas excepciones, hasta ahora nos hemos limitado al uso del sistema de números reales. Sin embargo, ya hemos observado la necesidad de los números complejos. El propósito de esta monografía es hacer un estudio formal de los números complejos y sus propiedades. Se definirán las operaciones de adición, sustracción, división y multiplicación, se destaca el isomorfismo decomplejos en reales, y además de la forma binómica se introducen las formas trigonométrica y exponencial. Queda resuelto el problema de la radicación y de la logaritmación, no siempre posible en los reales. Se introduce, además, el concepto de raíces primitivas de la unidad.






















Desarrollo
Historia
Los números complejos aparecieron muy temprano en elmundo de la matemática, pero fueron ignorados por su aspecto extraño y la imposibilidad de resolverlos hasta el momento.
Aparecieron entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas que generan raíces cuadradas de números negativos. La primera referencia conocida sobre esta problemática proviene del trabajo de los matemáticos griegos.
Los números complejos se hicieron más populares en sigloXVI cuando se buscaba hallar las formulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de segundo y tercer grado por matemáticos italianos como Tartaglia 1 y Cardano2, que se encontraron con la necesidad de manejar raíces de números negativos.
En 1637 Descartes3 dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones, son números de la forma a+bi, con a y b reales. Pero fue Gauss4 quien usolos números complejos en forma realmente confiable y científica. En 1799 demostró que las soluciones de cualquier ecuación algebraica de cualquier grado, pertenece a un conjunto de números que él llamo complejos, y que éste conjunto estaba formado por un numero real más un múltiplo de la raíz cuadrada de menos uno, llamada unidad imaginaria.
La implementación formal fue a finales del sigloXVIII y la representación en el plano cartesiano fue descubierta por los matemáticos Wessel Argand, en una obra publicada en 1806.






Definición
Un número complejo es un par ordenado de números reales. El conjunto de los números complejos es .


Potencias de la unidad imaginaria
Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria van repitiéndose periódicamente:y así sucesivamente.

Propiedades de los complejos
Igualdad: Dados dos números complejos Z=a+bi y W=c+di. Se dice que Z=W si coinciden sus partes reales e imaginarias respectivamente.

Multiplicación por un escalar: Dado Z= (a;b), se verifica que: , donde .

Formas de un númerocomplejo
-Forma cartesiana o como par ordenado:
Z= (a;b)
Si a= 0, el numero Z = (0,b) y se denomina número imaginario puro.
Si b=0, el numero Z=(a,0) y se denomina número real puro.

-Forma binómica:
Como se dijo anteriormente un número complejo se puede expresar de varias formas:
Z=(a;b)
Z= (a; 0)+(0;b)
Utilizando esta última expresión y recordando lapropiedad de multiplicación por un escalar, se demuestra que multiplicando Z por la unidad imaginaria i=(0;1) no altera dicho número.


Entonces Z=(a;b) también se puede expresar de la forma , esto es su forma binómica.

Forma Polar o Trigonométrica de un número complejo












Módulo:
El módulo de un numero complejo Z=a+bi es la longitud del vector posición....