informatica
Páginas: 7 (1696 palabras)
Publicado: 21 de octubre de 2014
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FILIAL ITÁ
INGENIERIA INFORMATICA
CALCULO II
SERIES
PROF: Ever Vega
INTEGRANTES
Juan Carlos Cabrera
Alexander Aquino
Alejandro VeccaGerardo Riquelme
2 AÑO
ITA – Paraguay
2014
Introducción
En el presente trabajo hablaremos sobre las series matemáticos y sus diferentes sub-divisiones.
Una definición clara es que es una función cuyo dominio lo constituyen los númerosenteros positivos. Aunque una sucesión en una función, suelen denotarse las sucesiones mediante una notación de subíndices en lugar de con la notación habitual de las funciones.
Series
Sea una sucesión de números reales:
A partir de ella podemos obtener otra sucesión, formada por las sucesivas sumas parciales de sus términos, es decir:
Convergencia
Una serie sedice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita)
Criterio de la integral y las p-series
Si partimos de una función positiva y decreciente
Podemos definir
Y obtenemos una serie de términos positivos
La suma de la serie es la suma de las áreas de un conjunto infinito de rectángulos (con base 1).
En la imagen vemos que esta suma es mayor (podría ser igual) que la integral.
En general, severifica esta desigualdad:
En el mathlet podemos jugar con un caso particular
Arrastrando los puntos verdes podemos modificar lambda y p y obtenemos nuevas funciones de ese tipo.
En estos casos, las series que se obtienen son semejantes a p-series (trasladadas y expandidas o contraídas).
Algunas de estas integrales divergen y, por lo tanto, las series correspondientes divergen también:Este es el caso cuando en una p-serie el grado p es igual o mayor que 1. La integral y la serie divergen cuando 'cruzamos la línea' arrastrando los puntos verdes:
En otros casos, la integral y la serie convergen:
En el mathlet, pulsando el botón de la animación podemos ver que la serie es la integral más algo que es menor que el primer término, ak.
Entonces podemos afirmar que
Y ademásobtenemos una cota inferior y otra superior de la serie.
Por ejemplo, consideremos la integral
Entonces
La serie converge y las cotas inferior y superior son:
Comparación de series
Comparación directa
\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=l
Entonces: * Si l = 0 y \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge * Si l=\infty y \sum(b_n) diverge\Rightarrow \sum(a_n) diverge * En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
Comparación en el LimiteSi tenemos una serie infinita de la cual no sabemos si es convergente o divergente, la podemos comparar con una ya conocida que sea convergente o divergente
Series alternadas
En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipocon an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.
Condiciones de convergencia[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_alternada&action=edit§ion=1" \o "Editar sección: Condiciones de convergencia" editar]
Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, yaque existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)" \o "Serie armónica (matemática)" serie armónica
diverge, mientras que su versión alternada
converge al logaritmo natural de 2.
Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión esmonótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie
converge.
Se puede utilizar la suma parcial
para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que .
Convergencia condicional
Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge...
FILIAL ITÁ
INGENIERIA INFORMATICA
CALCULO II
SERIES
PROF: Ever Vega
INTEGRANTES
Juan Carlos Cabrera
Alexander Aquino
Alejandro VeccaGerardo Riquelme
2 AÑO
ITA – Paraguay
2014
Introducción
En el presente trabajo hablaremos sobre las series matemáticos y sus diferentes sub-divisiones.
Una definición clara es que es una función cuyo dominio lo constituyen los númerosenteros positivos. Aunque una sucesión en una función, suelen denotarse las sucesiones mediante una notación de subíndices en lugar de con la notación habitual de las funciones.
Series
Sea una sucesión de números reales:
A partir de ella podemos obtener otra sucesión, formada por las sucesivas sumas parciales de sus términos, es decir:
Convergencia
Una serie sedice convergente si tiene un límite finito (su suma es finita)
Criterio de la integral y las p-series
Si partimos de una función positiva y decreciente
Podemos definir
Y obtenemos una serie de términos positivos
La suma de la serie es la suma de las áreas de un conjunto infinito de rectángulos (con base 1).
En la imagen vemos que esta suma es mayor (podría ser igual) que la integral.
En general, severifica esta desigualdad:
En el mathlet podemos jugar con un caso particular
Arrastrando los puntos verdes podemos modificar lambda y p y obtenemos nuevas funciones de ese tipo.
En estos casos, las series que se obtienen son semejantes a p-series (trasladadas y expandidas o contraídas).
Algunas de estas integrales divergen y, por lo tanto, las series correspondientes divergen también:Este es el caso cuando en una p-serie el grado p es igual o mayor que 1. La integral y la serie divergen cuando 'cruzamos la línea' arrastrando los puntos verdes:
En otros casos, la integral y la serie convergen:
En el mathlet, pulsando el botón de la animación podemos ver que la serie es la integral más algo que es menor que el primer término, ak.
Entonces podemos afirmar que
Y ademásobtenemos una cota inferior y otra superior de la serie.
Por ejemplo, consideremos la integral
Entonces
La serie converge y las cotas inferior y superior son:
Comparación de series
Comparación directa
\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=l
Entonces: * Si l = 0 y \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge * Si l=\infty y \sum(b_n) diverge\Rightarrow \sum(a_n) diverge * En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).
Comparación en el LimiteSi tenemos una serie infinita de la cual no sabemos si es convergente o divergente, la podemos comparar con una ya conocida que sea convergente o divergente
Series alternadas
En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipocon an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.
Condiciones de convergencia[ HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serie_alternada&action=edit§ion=1" \o "Editar sección: Condiciones de convergencia" editar]
Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, yaque existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la HYPERLINK "http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_arm%C3%B3nica_(matem%C3%A1tica)" \o "Serie armónica (matemática)" serie armónica
diverge, mientras que su versión alternada
converge al logaritmo natural de 2.
Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión esmonótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie
converge.
Se puede utilizar la suma parcial
para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que .
Convergencia condicional
Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge...
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