informatica

Inform´
atica Aplicada a la Biolog´ıa

Curso 2014/15

Biocomputaci´
on
1.

Introducci´
on a los sistemas din´
amicos

En esta parte de la asignatura vamos a introducirnos en el modelado matem´atico de un fen´omeno natural usando para ello sistemas din´amicos. Tan
crucial como generar el modelo es comprobar que ´este nos da informaci´on
relevante del fen´omeno natural (de laBiolog´ıa, la Qu´ımica, la Econom´ıa, la
Medicina, etc) que estamos estudiando.
Toda realidad a estudiar puede ser descrita como:
Un sistema
En movimiento (din´amico)
El inicio del c´alculo infinitesimal en el siglo XVIII abre el campo de la
interpretaci´on matem´atica de “sistemas en movimiento”. A continuaci´on
definimos los elementos de un sistema din´amico:
Un sistema est´a compuesto porelementos aislados y bien definidos, y
conjunto de relaciones entre ellos.

Adem´as, todos los fen´omenos naturales vienen marcados por el cambio,
debido, como m´ınimo, a los cambios temporales. La l´ınea del tiempo marca
una direcci´on, y ´esta es siempre de cambio, de dinamismo. El cambio se da
tanto en cada elemento del sistema como en el tipo de relaciones entre los
elementos.
Dpto.Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico, Universidad de Sevilla

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Curso 2014/15

Como ejemplos de sistemas din´amicos tenemos el sistema solar, la din´amica de poblaciones y el sistema circulatorio.
El objetivo de la interpretaci´on de la realidad como sistema din´amico es
comprender las causas estructurales que expliquen el comportamiento delmismo.
El objetivo es “matematizar”dicha “l´ınea de tiempo”que implica “cambio
permanente” entre las relaciones y componentes de un sistema. Para ello, las
ecuaciones en diferencias y las ecuaciones diferenciales constituyen
una manera (no la u
´nica) muy potente de abstraer matem´aticamente un
sistema din´amico asociado a un fen´omeno natural.
Finalmente, el papel de la Inform´atica entodo este proceso es el siguiente:
Resolver las ecuaciones, pues en la mayor´ıa de las ecuaciones es imposible dar una soluci´on expl´ıcita, y hace falta hacer “aproximaciones”num´ericas (mediante ordenadores): es lo que hace MATLAB y
CALC.
Visualizar las soluciones: representaciones gr´aficas. Todos los programas tienen esta posibilidad.

2.

Ecuaciones en diferencias y modelos discretosEn esta secci´on vamos a estudiar un tipo de ecuaciones que modelizan
sistemas din´amicos en los cuales consideramos al tiempo como una variable
discreta, esto es, consideramos los instantes temporales constantes y discontinuos (horas, d´ıas, semanas, meses, a˜
nos...). Este tipo de ecuaciones se
denominan ecuaciones en diferencias y han adquirido una importancia relevante en a´mbitos como laingenier´ıa, la econom´ıa o la biolog´ıa, dado que
este tipo de modelamiento es m´as ajustado a la realidad.
Este tipo de ecuaciones tienen la forma
x(n + 1) = f (x(n))
x(0) = x0 ,
donde:
La variable x representa el fen´omeno que queremos modelizar: el n´
umero de habitantes de una poblaci´on, la temperatura de cierto s´olido, la
Dpto. Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico,Universidad de Sevilla

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Curso 2014/15

cantidad de un componente qu´ımico en una reacci´on... El t´ermino x(0)
representa el valor en el tiempo inicial, ya que necesitamos un valor de
partida para poder definir el resto de los valores.
La letra n representa los valores temporales
La funci´on f (·) nos muestra la relaci´on que existe entre losvalores en
un instante de tiempo y el anterior o los anteriores.
En este tipo de ecuaciones:
Una soluci´
on ser´a una sucesi´
on de valores {x(0), x(1), . . . x(n), . . . }
que cumplen la ecuaci´on y que x(0) = x0 .
Una soluci´on es un punto estacionario o equilibrio es aquel que
verifica que f (x(n)) = x(n) para todo n ∈ N. Debido a esto, todos los
elementos de la sucesi´on tienen el...