Informatica

2.- Demostrar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resolverlas. (25%).

1 | ydx+xdy=0 |
2 | xdx+9ydy=0 |
3 | y3dx+3xy2dy=0 |
4 | xdy+y2dx=0 |
5 | 4dx+x-1dy=0|
6 | y-1dx+x-3dy=0 |
7 | 2xydx+dyex2=0 |
8 | 2xydy=x2+y2dx |

1. ydx+xdy=0

yMdx+xNdy

∂M∂y=1 = ∂N∂x=1 ∴ ES EXACTA
dfdx=Mx,y ⇒ dfdx=y

df=y dxf=y22+gy

y+g´y=x ⇒ g´y=x-y

gy= 12x2- 12y2+c

f=12y2+ 12x2- 12y2+c

Resultado= 12x2=c

2.- xdx+9ydy=0

xMdx+9yNdy

∂M∂y=0 = ∂N∂x=0 ∴ ESEXACTA
dfdx=Mx,y ⇒ dfdx=x

df=x dx

f=x22+gy

x+g´y=9y ⇒ g´y=9y-x

gy= 92y2- 12x2+c

f=12x2+ 92y2- 12x2+c

Resultado= 92y2=c

3.- y3dx+3xy2dy=0y3Mdx+3xy2Ndy

∂M∂y=3y2 = ∂N∂x=3y 2 ∴ ES EXACTA
dfdx=Mx,y ⇒ dfdx=y3

df=y3 dx

f=y44+gy

y3+g´y=3xy2 ⇒ g´y=3xy2-y3dy

gy=3 xy33- 14y4 = xy3-14y4+c

f=14x4+ xy3- 14y4+c

Resultado= xy3=c

4.- xdy+y2dx=0

xNdy+y2Mdx

∂M∂y=2y = ∂N∂x=1 ∴ NO ES EXACTA

5.- 4dx+x-1dy=0
4Mdx+x-1Ndy

∂M∂y=0 =∂N∂x= -1x-2 ∴ NO ES EXACTA

6.- y-1dx+x-3dy=0

(y-1)Mdx+(x-3)Ndy

∂M∂y=1 = ∂N∂x=1 ∴ ES EXACTA
dfdx=Mx,y ⇒ dfdx=(y-1)

df=(y-1) dx

f=y22+gyy+g´y=(x-3) ⇒ g´y=x-3-y dy

gy= 12x2 -12y2 +c

f=12y2+12x2 -12y2 +c

Resultado= 12x2 =c

7.-2xydx+dyex2=0
2xy ex2dx+ex2dy=0
2xy ex2Mdx+ex2Ndy

∂M∂y=2x ex2 =∂N∂x=2x ex2 ∴ ES EXACTA
De aquí en adelante ya no estoy segura como va

8.- 2xydy=x2+y2dx
2xy dy-x2+y2dx=0
x2+y2Mdx+2xyNdy

∂M∂y=2y = ∂N∂x=2y ∴ ESEXACTA
dfdx=Mx,y ⇒ dfdx=x2+y2

df=(x2+y2) dx

f=x22+y22+gy

x+y+g´y=2xy ⇒ g´y=2xy-x+y

gy=xy2- 12x2 -12y2 +c

f= 12x2 +12y2 +xy2- 12x2 -12y2 +c

Resultado=...