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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

1. Definiciones

Teoremas sobre rangos


Método de eliminación de Gauss


Método de Gauss - Jordan


Método de Gauss-Seidel


Ecuaciones Lineales Homogéneas


Ecuaciones lineales no homogéneas

2. Análisis insumo-productos estático intersectoriales
3. LaCondición de Hawking-Simon
4. Productos y precios teoría y aplicaciones

Clasificaciones de los productos de consumo

5. Clasificaciones de los productos industriales.

Precio


Estrategias de fijación de precios

6. Bibliografía

DEFINICIONES

1 ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL

Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable oincógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)


Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, son constantes reales.

2 SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente.En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X 1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistemade n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
[pic] (3)


Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C (4)
en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que serepresenta con (A, C).
Entonces la matriz ampliada será:
[pic]



3 SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.
Un sistemaConsistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este caso se demuestra que existe una infinidad de soluciones.



TEOREMAS SOBRE RANGOS

El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada conr(A, C).
En álgebra se demuestra que:
1. Para cualquier sistema, [pic]
2. Si r(A) < r(A, C) el sistema es inconsistente
3. Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente


En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.
En general, hay dos tipos de técnicas numéricas pararesolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.
Naturalmente, ninguna técnica práctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.
Por otra parte, un método indirecto requerirá enprincipio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirecto tiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.
Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un...