Informe De Rozamiento

En esta página analizamos detalladamente un problema muy común en un curso de Física cuya solución no se suele presentar de forma completa.
Un bloque de masa m1 se sitúa sobre un plano inclinado de ángulo θ. El bloque está conectado a otro bloque de masa m2 que cuelga de su otro extremo mediante una cuerda inextensible que pasa por una polea ideal (de rozamiento y momento de inerciadespreciables). Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque de masa m1 y el plano inclinado es μ, estudiar el movimiento del sistema.
 
Por razón de simplicidad, supondremos que los coeficientes de rozamiento estático y cinético tienen el mismo valor μ.
 
Descripción
Tenemos analizar dos posibles situaciones
1. Cuando el bloque de masa m1 está en movimiento
2. Cuando el bloque demasa m1 está en reposo sobre el plano inclinado
Para dibujar de forma correcta el sentido de la fuerza de rozamiento, se ha de tener en cuenta que:
* Cuando el bloque desliza, la fuerza de rozamiento es siempre de sentido contrario al vector velocidad.
* Si el bloque de masa m1 está en reposo, la fuerza de rozamiento es de sentido contrario a la resultante de las otras fuerzas que actúansobre el bloque.
 
1.      El bloque de masa m1 desliza sobre el plano inclinado
* Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia arriba

La ecuación del movimiento del bloque que cuelga de masa m2 es  
m2g-T=m2a
La ecuación del movimiento del bloque de masa m1 que desliza hacia arriba es
T-m1g·senθ-Fr=m1a
La reacción del plano vale N-m1g·cosθ=0
y la fuerza de rozamiento Fr=μ·N Despejamos la aceleración a
 
* Movimiento del bloque a lo largo del plano, hacia abajo

La fuerza de rozamiento cambia de sentido. Cambiamos el signo la fuerza de rozamiento en la fórmula de la aceleración

Alternativamente, podemos volver a plantear las ecuaciones del movimiento a partir del esquema de la figura.
 
2. El bloque de masa m1 está en reposo sobre el plano inclinado
Eneste caso la tensión de la cuerda es igual al peso T=m2g
La fuerza de rozamiento se opone a la resultante de las otras dos fuerzas opuestas:
* la tensión de la cuerda m2g
* la componente del peso m1gsenθ
 
| La componente del peso es menor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva a lo largo del plano inclinado hacia arriba. |
Si m2g>m1gsenθ    entonces  m2g- m1gsenθ-Fr=0    (1)
| La componente del peso es mayor que la tensión de la cuerda, la fuerza de rozamiento se opone a que el cuerpo se mueva hacia abajo.  |
Si m2g< m1gsenθ    entonces  m2g-m1gsenθ+Fr=0    (2)
La fuerza de rozamiento es nula para el ángulo θ que cumple que m2g=m1gsenθ. 
3. Cuando el bloque de masa m1 empieza a deslizar a lo largo del planoVariando el ángulo de inclinación θ del plano inclinado llega un momento en el que el bloque empieza a deslizar, en ese momento la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo
Fr=μN= μm1gcosθ
Vamos  a determinar el o los ángulos de plano inclinado para los cuales el bloque de masa m1 va a empezar a deslizar a lo largo de dicho plano 
Llamando m=m2/m1, la ecuación de equilibrio de fuerzas (1) seescribe 
m-senθ- μcosθ=0
Teniendo en cuenta que cos2θ=1-sen2θ. Despejando cosθ y elevando al cuadrado, nos queda la ecuación de segundo grado en senθ.
(1+μ2)sen2θ-2msenθ+(m2-μ2)=0
La misma ecuación de segundo grado se obtiene a partir de la ecuación de equilibrio de fuerzas (2)

La ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales siempre que el discriminante sea positivo
1-m2+μ2≥0.
Para quelas dos raíces reales sean positivas se tiene que cumplir que la raíz más pequeña sea positiva, esto es

Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos la desigualdad equivalente 
m≥ μ
* El discriminante es siempre positivo para m<1 es decir, para m2<m1
* En cambio, si m>1, es decir, si m2>m1 las raíces reales existen si μ2≥m2-1
 
Ejemplos
1. m=0.6 y μ=0.4
La fuerza...