Informe ecuaciones

1.- Resolver la ecuación diferencial:
y' = p(x).y = 0
con la condición y(0) = 1 siendo :

[pic]

Respuesta 1
Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.
y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ; [pic]dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C
Si tomamosantilogaritmos tenemos:

[pic]

La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :
y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2
Tenemos según eso :
y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ; [pic]dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x
y considerando el valor y(1) = e-2

[pic]

2.- Resolver la ecuación diferencial :

[pic]Respuesta
La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :

[pic]

Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :

[pic]

y separando variables:

[pic]

o deshaciendo el cambio de variables :
arc tg(y/x) – Ln x = C

3.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Respuesta
Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismogrado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :

[pic]

y separando variables:

[pic]

Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :

[pic]

o lo que es igual :

[pic]

Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :

[pic]

4.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Respuesta
Tenemos una ecuaciónhomogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir :

[pic]

y separando variables:

[pic]

O lo que es igual :

[pic]

5.- Resolver la siguiente ecuación:

y' = (x + y)
con la condición y(0) = 1.
Respuesta
La ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener :
v' = 1 + y' ; y' = v' – 1 = x + y = v ; v' = v + 1
y separando variablespara integrar :

[pic]

pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :

[pic]

y tomando antilogaritmos:

[pic]

6.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Respuesta 6
En primer lugar vamos a comprobar si la ecuación es diferencial exacta :

[pic]

Puesto que se cumple la condición requerida integramos como sigue :

[pic]

Para conocer el valor de la función [pic]derivamos laanterior expresión respecto de y e igualamos a Q:

[pic]

Así pues, la solución general de la ecuación estudiada será :

[pic]

7.- Resolver la ecuación diferencial:

[pic]

Respuesta 7
Lo primero que hacemos es comprobar si la ecuación es diferencial exacta :

[pic]

Según eso, tenemos :

[pic]

El valor de [pic]se obtiene por :

[pic]

Con lo que, finalmente, resulta :[pic]

8.- Resolver la ecuación diferencial:

(2.y2 – 4.x + 5)dx + (4 – 2.y + 4.xy)dy = 0
Respuesta 8
En primer lugar comprobamos si la ecuación diferencial es exacta ;

[pic]

Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente para que la anterior ecuación sea diferencial exacta, podemos hacer :

[pic]

Derivando la última expresión respecto de la variable y e igualando aQ, tenemos :

[pic]

De ese modo, la solución general de la ecuación estudiada será :

[pic]

9.- Resolver la ecuación diferencial :

[pic]

Respuesta 9
Si hacemos el cambio de variable v = xy tenemos dv = x.dy + y.dx y la ecuación se puede poner :

[pic]

Resulta, por tanto, una ecuación en variables separadas que podemos integrar directamente :

[pic]

y a partir de ahí :[pic]

10.- Resolver la ecuación diferencial:

x.dx + y.dy + (x2 + y2).x2.dx = 0
Respuesta 10
La ecuación puede ponerse en la forma :

[pic]

o lo que es igual :

[pic]

Con lo que la solución general será :

[pic]

11.- Encontrar la ecuación diferencial del haz de parábolas que pasando por el origen tengan como eje el OX

RESPUESTA 11

Las parábolas que cumplan la...