Informe Laboratorio 3 Pendulo Invertido

INFORME LABORATORIO 3 PENDULO INVERTIDO

1

Informe laboratorio 3 Pendulo Invertido
Cesar Gonzalez, Francisco Calderón,

Resumen—Categoria 4. Este artículo muestra los procedimientos, resultados y conslusiones de la práctica 3 del laboratorio de
la asignatura de sistemas lineales,
Index Terms—Pendulo invertido, controlabilidad estabilidad.

I.

I NTRODUCCIÓN

N l objetivo de estedocumento consiste en presentar
el informe de laboratorio de la practica 3 de sistemas
lineales, los objetivos de esta practica consisten en:

E

1. Analizar teóricamente la observabilidad y controlabilidad de un sistema electromecánico específico (Péndulo).
2. Comprobar mediante simulaciones los efectos de la
controlabilidad y la observabilidad del sistema signado.
Para esto se llevó acabo primero los cálculos numéricos
de la ecuación en espacio de estados del péndulo invertido,con su modelo lineal en la posición totalmente erecta con
la masa mas grande adherida y la barra mas larga, con esto se
tienen:


0
0
1
0

0
0
0
1

A=
 0 1,5216 −11,5613 0,0049 
0 26,1093 −26,8458 −0,0841

0


0

B=
 1,5304 
3,5261




1
0

C=
0
0
0
1

0
0

D=0
Con el vector



xc
θ

X=
 xc 
˙
˙
θ
Pontificia Universidad Javeriana.
Facultad de Ingeniería Electrónica.
Maestría en ingeniería electrónica.
Doctorado en ingeniería.

II.

P REGUNTAS PREVIAS

Como preguntas previas a la práctica, se pide evaluar
teóricamente la controlabilidad del modelo del sistema lineal,
para esto se realizó en Matlab elsiguiente procedimiento:
Cc = [BA ∗ BA ∗ A ∗ BA ∗ A ∗ A ∗ B ];
rank (Cc)
Como el rango es igual a 4, el sistema es controlable.
La matriz de controlabilidad es:


0
0,0015 −0,0178 0,2135

0
0,0035 −0,0414 0,5747 

Cc = 1 × 103 ∗ 
 0,0015 −0,0178 0,2135 −2,5536 
0,0035 −0,0414 0,5747 −6,8610
Al igual puede encontrarse la observabilidad de la siguiente
manera:
Oo = [C ; C ∗A; C ∗ A ∗ A; C ∗ A ∗ A ∗ A]
rank (Oo)
El igualmente como el rango es igual a 4 el sistema es
observable.
La matriz de observabilidad es:


1
0
0
0
0

1
0
0



0
0
1
0



0
0
0
1

Oo = 
0
1,5216
−11,6513 −0,0049 


 0 26,1093 −26,8458 −0,0841 


 0 −17,8566 135,8843
1,5791 
0 −43,0444 315,0462 26,2479
III.

D ESARROLLO

Usandoel Gramiano de controlabilidad, que es hallado
mediante el software mathematica, ya que no fué posible su
convergencia a una solución en Matlab, Se usó el siguiente
código para conseguir el gramiano de controlabilidad:
In[1]:=
Clear["Global‘*"]
a={{0,0,1,0},{0,0,0,1},{0,1.5216,11.5613,.0.0049},{0,26.1093,-26.8458,-0.0841}};
b={{0},{0},{1.5304},{3.5261}};
c= {{1,0,0,0}{0,1,0,0}};
d={0,0};t1=1;
In[2]:=
expmt=MatrixExp[a t];
expmtat=MatrixExp[Transpose[a] t];
expmts[t_]=MatrixExp[Transpose[a](t1-t)];
expmtats=MatrixExp[a t1];
In[3]:=
arint=expmt.b . Transpose[b].expmtat;
In[4]:=
wgra=Integrate[arint,{t,0,1}];
wgrai=Inverse[wgra]
Out[1]={{452.4,-459.013,-191.825,95.5716},{459.013,662.755,262.651,-139.283},{191.825,262.651,115.499,-55.3457},{95.5716,139.283,-55.3457,29.2839}}

INFORME LABORATORIO 3 PENDULO INVERTIDO

2

In[5]:=
xo={{0.2},{1*pi/180},{0},{0}};
xs={{0},{0},{0},{0}};
enta[t_]=Transpose[-b].expmts[t].wgrai.(expmtats.xo-xs);

III-A. Alcanzabilidad del sistema a distintas entradas en un
tiempo fijo
Se evalúa en Mathematica la función llamada enta[t] para
diversos t entre 0 y 1, ya que para esta primera se tomará
como tiempo de simulaciónun segundo. y diferentes valores
para encontrar si el sistema alcanza el estado deseado xf =
[0; 0; 0; 0]T en el tiempo establecido:

Figura 2.

Figura 3.

Figura 1.

Segunda entrada Para xo = [0,01; 1 ∗ pi/360; 0; 0]T

Tercera entrada Para xo = [1; 1 ∗ pi/360; 0; 0]T

Primera entrada Para xo = [−0,01; 1 ∗ pi/360; 0; 0]T :

Con estas 8 entradas Figura 1 a 8, puede verse como...