Informe sobre deflexion de barras

Instituto Politécnico Nacional

Proyecto de Cálculo Vectorial y Ecuaciones Diferenciales

Objetivo Desarrollar una solución para un problema práctico donde se apliquen los conocimientos adquiridos durante el curso de ecuaciones diferenciales y calculo vectorial. Desarrollar un modelo matemático que nos describa la solución del problema de una barra cualquiera considerado todos losparámetros involucrados para la solución de este. Introducción Tipos de casos a considerar: 1. Empotrada en ambos lados 2. Viga en voladizo: empotrada en el extremo izquierdo, libre en el extremo derecho. 3. Apoyada simplemente en ambos extremos. Determinar sus constantes en cada caso. Flexión De Vigas Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darleestabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes x , y que se ejercen a lo largo de su longitud.

Deflexión de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta flexión y(x) está determinadapor una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla. Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetría

Si a la viga se le aplica unacarga en un plano vertical que contenga al eje de simetría como se ve en la figura,

sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión describe la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría y que la flexión ( o flecha) y(x)m medida desde este eje,es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M (x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación (1)

Además, el momento flexionante M (x) es proporcional a la curvatura, κ , de la curva elástica (2) donde E e I son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad delmaterial de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta , respecto de un eje llamado eje neutro. El producto EI se denomina rigidez a la flexión. Según el cálculo diferencial, la curvatura es pequeña, la pendiente ′ y = 0 , de modo que . . Cuando la flexión y(x) es ≈ 1. Si k= y′′ , la

ecuación (2) se transforma en M = EIy′′ . La segunda derivada de esta ecuación esAplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar la flexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden

en la (3) y vemos que

Las condiciones en la frontera asociada a esta ecuación dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el alade un avión y una marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los árboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufren la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la flexión y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x =0:   y(0) = 0 porque no hay flexión en ese lugar y (0) = 0 porque la curva de deflexión es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de flexión es cero en ese punto). Cuando x = L las condiciones del extremo libre son: y ′(L) = 0 porque el momento flexionante es cero y ′′(L) = 0 porque la fuerza cortante es cero.

 

La función

se llama fuerza cortante. Si un...