informe

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior

(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

1

Ecuaciones lineales: teoría básica
Un problema de valor inicial de n-ésimo
orden consiste en resolver la EDO lineal:

d n−1
dny
an ( x) n + an−1 ( x) n−1 +
dx
dx

dy
+ a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x)
dx

sujeta a las n condiciones iniciales:
y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y1 ,

, y ( n−1) ( x0) = yn−1

Resolverlo consiste en encontrar una función
y(x) en definida en un intervalo I que contiene a
x0, donde se cumplen la ecuación y las
2
condiciones iniciales.

Existencia de una solución única
(Condición suficiente)
Sea an(x), an-1(x), …, a0(x), y g(x) continuas en I,
con an(x) ≠ 0 para todo x de I. Si x = x0 es
cualquier punto de este intervalo, entonces existe
unasolución y(x) del problema anterior en I y es
única.
•Ejemplo:

3 y′′′ + 5 y′′ + y′ + 7 y = 0, y (1) = 0 , y′(1) = 0, y′′(1) = 0
posee la solución trivial y(x) = 0. Como es una ED de tercer
orden lineal con coeficientes constantes, y(x) = 0 es la única
solución en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
3

• Ejemplo: Comprueba que y = 3e2x + e–2x – 3x es la
única solución de
y"−4 y = 12 x,y (0) = 4, y ' (0) = 1

La ED es lineal, los coeficientes y g(x) son todos
funciones continuas, y a2(x) = 1 es distinto de 0 en
cualquier intervalo que contenga x = 0. La solución
propuesta cumple la EDO y es única en I.
Comprueba que y = cx2 + x + 3 es solución del PVI:

x 2 y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 6,

y (0) = 3 , y ′(0) = 1

en toda la recta real. Este PVI tiene infinitas soluciones.Observa que el
coeficiente de la derivada a2(x) = x2 más alta se hace cero en x = 0 y ese
punto necesariamente tiene que estar incluido en I porque lo imponen las
condiciones iniciales.

4

Problemas de valores en la frontera
• Resolver:
sujeta a :

dy
d2y
a2 ( x) 2 + a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x)
dx
dx
y ( a ) = y0 , y (b) = y1

se llama problema de valor
en la frontera (PVF) y alas
restricciones se conocen
como condiciones de contorno
o condiciones en la frontera.
Nota: Las condiciones de contorno
pueden ser también sobre las derivadas.

5

Vimos que x = c1 cos 4t + c2 sin 4t era solución de

x"+16 x = 0

⎛π ⎞ = 0
(a) Supongamos el PVF x′′ + 16 x = 0 , x(0) = 0 , x⎜ ⎟
⎝2⎠
Si x(0) = 0, entonces c1 = 0, y x(t) = c2 sen 4t.
Si x(π/2) = 0, obtenemos 0 = 0independientemente
de c2. De modo que tenemos infinitas soluciones.

π
′′ + 16 x = 0 , x(0) = 0 , x⎛ ⎞ = 0
(b) Si x
⎜ ⎟
⎝8⎠
tenemos que c1 = 0, c2 = 0:
x(t) = 0, solución única.
⎛π ⎞ = 1
(c) Si x′′ + 16 x = 0 , x(0) = 0 , x⎜ ⎟
⎝2⎠
tenemos que c = 0, y 1 = 0
1

(contradicción). No hay solución.

6

La siguiente EDO lineal de orden n:
dny
d n−1 y
an ( x) n + an−1 ( x) n−1 +dx
dx

dy
+ a1 ( x) + a0 ( x) y = g ( x)
dx

se dice que es no homogénea.
dny
d n−1 y
an ( x) n + an−1 ( x) n−1 +
dx
dx

dy
+ a1 ( x) + a0 ( x) y = 0
dx

si g(x) = 0 la ecuación es homogénea.
Veremos que para resolver una ecuación no
homogénea tendremos que resolver también la
ecuación homogénea asociada.

7

Operadores diferenciales
• Sea Dy = dy/dx. Al símbolo D se lellama operador
diferencial. Definimos a un operador diferencial de
n-ésimo orden u operador polinominal como
L = an ( x) D n + an−1 ( x) D n−1 +

+ a1 ( x) D + a0 ( x)

• El operador diferencial L es un operador lineal:
L{α f ( x ) + β g ( x )} = α L ( f ( x )) + β L ( g ( x ))

Podemos escribir las EDOs anteriores simplemente
como
L(y) = 0 y L(y) = g(x)
8

Principio desuperposición
(ecuaciones homogéneas)

Sean y1, y2, …, yk soluciones de una ecuación
diferencial homogénea de n-ésimo orden en un
intervalo I. Entonces la combinación lineal
y = c1y1(x) + c2y2(x) + …+ ckyk(x)
donde ci, i = 1, 2, …, k, son constantes arbitrarias,
también es una solución en el intervalo.
Ejemplo: Las funciones y1 = x2, y2 = x2 ln x son ambas
soluciones en (0, ∞) de x3 y′′′ − 2 xy′...