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5.1.2. Tasas de Variación Relacionadas.

Un problema de Tasas de Variación Relacionadas es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones del mundo real queimplican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación especifica para valores de t, donde t, es una medida de tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, lacual representa un modelo matemático.

Si una cantidad y es una función del tiempo t, la razón de cambio de y con respecto al tiempo está dada por dy/dt. Cuando dos o más cantidades, todas funcionesdel tiempo t, están relacionadas por una ecuación, la relación de sus razones de cambio puede hallarse derivando ambos lados de la ecuación.

EJEMPLO 1:

Una escalera de 25 pies reposa sobre unapared vertical. Si la base de la escalera resbala y se aleja de la base de la pared a 3 pies/s, ¿qué tan rápido baja la parte superior de la escalera cuando la base de la misma está a 7 pies de lapared?

SOLUCIÓN:

Sea x la distancia de la base de la escalera a la base de la pared, y sea y la distancia de la parte superior de la escalera a la base de la pared. Como la base de la escalera sealeja de la base de la pared a una razón de 3 pies/s, dx/dt = 3. Se tiene así que hallar dy/dt cuando x=7. Por el teorema de Pitagoras,

x 2+ y 2 = (25) 2 = 625

Esta es la relación entre x y y.Derivando ambos lados respecto a t, se obtiene:

2x dx/dt + 2y dy/dt = 0

Como dx/dt = 3, 6x + 2y dy/dt = 0, donde

3x + y dy/dt = 0


Esta es la ecuación deseada para dy/dt. Ahora, para esteproblema en particular, x=7. Al sustituir x por 7 en la ecuación 1 se tiene:

49 + y 2 = 645, y 2=576,

En la ecuación 2, al remplazar x y y por 7 y 24, se obtiene:

21 + 24 dy/dt = 0

Portanto, dy/dt = - 7/8 pies/s. Como dy/dt < 0, se concluye que la parte superior de la escalera resbala por la pared a una razón de 7/8 pies/s, cuando la base de la escalera está a 7 pies de la...