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Álgebra de Boole

Tema 5

¿Qué sabrás al final del capítulo?
Leyes y propiedades del Algebra de Boole
 Simplificar funciones utilizando el Algebra
de Boole
 Analizar circuitos mediante Algebra de
Boole y simplificarlos
 Pasar de una tabla de verdad a Suma de
Productos y Producto de Sumas
 Utilizar Mapas de Karnaugh para
simplificar funciones lógicas


Algebra de Boole
EnAlgebra habéis aprendido leyes y propiedades.
Por ejemplo, la propiedad Conmutativa de la
Suma A + B = B + A (A y B son números enteros
o reales)
En 1860 George Boole desarrolló un Algebra en la
que los valores de A y B sólo podían ser
“verdadero” o “falso” (1 ó 0). Se llama Algebra de
Boole y se utiliza en Electrónica Digital

Operaciones del Algebra de Boole
Suma Booleana es la funciónlógica OR
X=A + B

Multiplicación Booleana es la función lógica
AND
X = AB

Commutativa de la suma
A+B = B+A
El orden en la OR no importa

Commutativa del producto
AB = BA
El orden en la AND no importa

Asociativa de la suma
A + (B + C) = (A + B) + C
Agrupar variables en la OR no importa

Asociativa del producto
A (B C) = (A B) C
Agrupar variables en la AND no importaDistributiva
A(B + C) = AB + AC

A

B
C

X
Y

X=Y

Distributiva
(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD

A
B
C
D
X
Y

X=Y

A+0=A
Hacer una operación OR con 0 no cambia nada.

A

X

X=A

A+1=1
Hacer una operación OR con 1 da siempre 1.

A
X=1
X

A•0=0
Hacer una operación AND con 0 siempre da 0

A

X

X=0

A•1 =A
Hacer una operación AND con 1 no cambianada

A
X=A
X

A+A = A
Hacer una operación OR consigo mismo da el
mismo resultado

A

A

X

A=A

A+A=1
O bien A o A serán 1, luego la salida será 1

A

A
X=1
X

A•A = A
Hacer una operación AND consigo mismo da
el mismo resultado

A

A

X

A=A

A•A =0
Bien A o A son 0 luego la salida será 0.

A
A
X

X=0

A=A
Si negamos algo dos veces volvemosal principio

A

X

X=A

A + AB = A

A

B
X

A + AB = A + B (absorción)
Si A es 1 la salida es 1

Si A es 0 la salida es B

A
B
X
Y

X=Y

(A + B)(A + C) = A + BC

A

B
C

X
Y

Tres leyes y doce propiedades en Algebra de
Boole

Leyes de De Morgan
De Morgan ayuda a simplificar circuitos
digitales usando NORs y NANDs.
A•B=A+B
y
A+B=A•B
Igual para másde 2 variables.

Ambos circuitos tienen la misma salida: De Morgan funciona

A +B +C + D = A • B • C • D

Cálculo de la expresión algebraica de salida
(ejemplo 1)

(A + B)(CD) = (A + B) + (CD)

= A + B + CD

X e Y son
iguales

Cálculo de la expresión algebraica de salida
(ejemplo 2)

X = (A+B) C + CD + B

= (A+B) C CD + B
= (A+B) C (CD + B)
= A B C (C +D +B)
= A B C C+ A B C D +A B B C
=AB C D

Los
circuitos
son
iguales

Análisis Booleano de Funciones
Lógicas
El propósito de este apartado es obtener
expresiones booleanas simplificadas a partir
de un circuito
Se examina puerta a puerta a partir de sus
entradas
Se simplifica usando las leyes y propiedades
booleanas.

Ejemplo 1

Puerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)

X=AB + C+ D

Ejemplo 2

X = (AB)(CD)

X = ABCD

Ejemplo 3

X = ABCD +A
Simplificando:
X = A + BCD

Ejemplo 4

X = (AB+B)BC

Usando la propiedad
distributiva:
X = ABBC +BBC

En la siguiente
transparencia se ve
cómo las dos cosas son
lo mismo

X = ABC + BBC
X = ABC + 0•C
X = ABC + 0

X = ABC

Ejemplo 5

X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X= (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD (sigue en la próxima transparencia)

X = A + B + C + BD
X =A+ B + C + D

Los circuitos son
iguales

Expresiones booleanas desde
tablas de verdad
Producto de sumas
Y=(A+B+C)·(D+C)·(E+F)
Suma de productos

Y= A·B·C+B·C·D+A·C·D o directamente
Y= ABC+BCD+ACD

Sumas de productos

Cuando ABCD=1111, el producto...