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APLICACIONES DE LA DERIVADA
1.- Funciones crecientes y decrecientes
Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.  El uso de la derivada de una función puedeayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado.  
1.1. Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,
i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b).
iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto(a,b), f es constante en (a,b).
1.1. Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
Para construir la gráfica de una función usando la derivada se recomienda: Hallar f’(x) (la derivada de f), hallar los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos losvalores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida); evaluar cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos; localizar los puntos hallados en el paso anterior en el plano cartesiano, determinar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema), dibujar la gráfica, de manera que seacreciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.
2.- Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)
* Valor máximo (o máximo absoluto) de f: si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) paratodo x en el intervalo [a,b]. Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.
* Valor mínimo o mínimo absoluto de f: si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.  Si f(c) esel mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.
A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.
1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez.
2) Si f es una funciónconstante, entonces f(c) es a la vez un máximo y un mínimo absoluto que f alcanza en todo número real c.
2.2. Teorema: Si f es continua en el intervalo [a,b], f toma valores máximos y mínimos en [a,b].
Para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalo [a,b] se recomienda: Hallar los números críticos de f, igualando f’(x) a cero; evaluar cada c en la función para obtener los puntoscríticos; hallar f(a) y f(b); Determinar los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3.
3. Criterio de la Primera Derivada
3.1 Definición: Sea f una función en c:
i) f(c) es un máximo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es menor o igual a f(c) para todo x en (a,b).
ii) f(c) es unmínimo relativo de f si existe un intervalo (a,b) que contiene a c tal que f(x) es mayor o igual f(c) para todo x en (a,b).
3.2 Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo cuando x = c, entonces:
i) f’(c) = 0, ó
ii) f’(c) no está definida
Esto es, c es un número crítico (valor crítico) de f.
Notas: 1)  El teorema anterior afirma que si una función f tiene un máximo o mínimo...