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Publicado: 19 de mayo de 2013
Matrices equivalentes. El m´todo de Gauss
e
Dada una matriz A cualquiera decimos que B
es equivalente a A si podemos transformar A
en B mediante una combinaci´n de las siguo
ientes operaciones:
Multiplicar una fila de A por un n´mero real
u
cualquiera diferente de cero.
Intercambiar dos filas.
Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
1
Estas tres operaciones se puedendescribir mediante el producto de matrices.
2
Multiplicar la fila i de una matriz n × m por
un n´mero a es equivalente a multiplicar a
u
la izquierda por la matriz identidad In en
la que hemos puesto en la posici´n i, i una
o
a.
Por ejemplo si tomamos la matriz
2 4
3 6
7 9
y queremos multiplicar la fila 2 por 5, tenemos que multiplicar esta matriz por
1 0 0
0 5 0
0 0 1
3
Para intercambiar dos filas, por ejemplo la
i y la j lo ´nico que hay que hacer es mulu
tiplicar por la matriz identidad a la que le
hemos cambiado la fila i por la j.
Por ejemplo si en la matriz anterior:
2 4
3 6
7 9
queremos intercambiar la fila 1 y la fila 3
tenemos que hacer
0 0 1
2 4
0 1 0 · 36
1 0 0
7 9
4
Si queremos sumar a la fila i un m´ltiplo a
u
de la fila j tendremos que multiplicar a la
izquierda por la matriz identidad a la que
le a˜adimos en la fila i columna j una a
n
Si en la matriz
2 4
3 6
7 9
queremos sumarle a la fila 2 siete veces la
fila 3 tenemos que hacer:
1 0 0
2 4
0 1 7 · 3 6
0 0 1
7 9es decir hemos puesto un 7 en la posici´n
o
2, 3
5
Diremos que una matriz A est´ escalonada si
a
se cumple lo siguiente:
Dada una fila cualquiera si el primer elemento
diferente de cero de ella es el ai,j (es decir
est´ en la fila i columna j) entonces se cumple
a
que ak,l = 0 si k > i y l ≤ j. Si una fila no tiene
elementos diferentes de cero entonces todas
las filas por debajo deesta tienen que ser filas
de ceros.
6
Las matrices:
5
0
0
0
3
1
0
0
0
6
1
0
4
2
3
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
3
5
0
son matrices escalonadas.
La matriz:
2
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
3
0
1
no est´ escalonada.
a
7 El m´todo de Gauss nos proporciona una mane
era sistem´tica de obtener mediante cambios
a
elementales una matriz escalonada equivalente
a matriz cualquiera dada.
Funciona de la manera siguiente:
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 5 0 4 7
8
1. Reordenamos las filas de manera que todas
las filas de ceros, si las hay, quedenabajo
del todo.
0 3 2 5 7
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3 ∼ 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 5 0 4 7
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
2. Buscamos la primera columna que no tenga todo ceros.
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
3.Reordenamos de nuevo las filas de manera
que los ceros de esta columna queden abajo
del todo.
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3 ∼ 0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4. Si la matriz ya est´ escalonada ya hemos
a
acabado.
5. Si no, buscamos el primerelemento donde
no se cumple la condici´n de escalonamieno
to a este n´mero le llamamos pivote y a
u
partir de ahora nos olvidamos de las filas
por encima de esta.
1 7 2 4 3
0 3 2 5 7
0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
6. Repetimos los pasos anteriores olvid´ndonos
a
de las filas ya escalonadas. Si la matriz ya
est´ escalonada ya hemos acabado....
e
Dada una matriz A cualquiera decimos que B
es equivalente a A si podemos transformar A
en B mediante una combinaci´n de las siguo
ientes operaciones:
Multiplicar una fila de A por un n´mero real
u
cualquiera diferente de cero.
Intercambiar dos filas.
Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
1
Estas tres operaciones se puedendescribir mediante el producto de matrices.
2
Multiplicar la fila i de una matriz n × m por
un n´mero a es equivalente a multiplicar a
u
la izquierda por la matriz identidad In en
la que hemos puesto en la posici´n i, i una
o
a.
Por ejemplo si tomamos la matriz
2 4
3 6
7 9
y queremos multiplicar la fila 2 por 5, tenemos que multiplicar esta matriz por
1 0 0
0 5 0
0 0 1
3
Para intercambiar dos filas, por ejemplo la
i y la j lo ´nico que hay que hacer es mulu
tiplicar por la matriz identidad a la que le
hemos cambiado la fila i por la j.
Por ejemplo si en la matriz anterior:
2 4
3 6
7 9
queremos intercambiar la fila 1 y la fila 3
tenemos que hacer
0 0 1
2 4
0 1 0 · 36
1 0 0
7 9
4
Si queremos sumar a la fila i un m´ltiplo a
u
de la fila j tendremos que multiplicar a la
izquierda por la matriz identidad a la que
le a˜adimos en la fila i columna j una a
n
Si en la matriz
2 4
3 6
7 9
queremos sumarle a la fila 2 siete veces la
fila 3 tenemos que hacer:
1 0 0
2 4
0 1 7 · 3 6
0 0 1
7 9es decir hemos puesto un 7 en la posici´n
o
2, 3
5
Diremos que una matriz A est´ escalonada si
a
se cumple lo siguiente:
Dada una fila cualquiera si el primer elemento
diferente de cero de ella es el ai,j (es decir
est´ en la fila i columna j) entonces se cumple
a
que ak,l = 0 si k > i y l ≤ j. Si una fila no tiene
elementos diferentes de cero entonces todas
las filas por debajo deesta tienen que ser filas
de ceros.
6
Las matrices:
5
0
0
0
3
1
0
0
0
6
1
0
4
2
3
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
3
5
0
son matrices escalonadas.
La matriz:
2
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
3
0
1
no est´ escalonada.
a
7 El m´todo de Gauss nos proporciona una mane
era sistem´tica de obtener mediante cambios
a
elementales una matriz escalonada equivalente
a matriz cualquiera dada.
Funciona de la manera siguiente:
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 5 0 4 7
8
1. Reordenamos las filas de manera que todas
las filas de ceros, si las hay, quedenabajo
del todo.
0 3 2 5 7
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3 ∼ 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
0 5 0 4 7
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
2. Buscamos la primera columna que no tenga todo ceros.
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
3.Reordenamos de nuevo las filas de manera
que los ceros de esta columna queden abajo
del todo.
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 3 2 5 7
1 7 2 4 3
0 0 0 1 3 ∼ 0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4. Si la matriz ya est´ escalonada ya hemos
a
acabado.
5. Si no, buscamos el primerelemento donde
no se cumple la condici´n de escalonamieno
to a este n´mero le llamamos pivote y a
u
partir de ahora nos olvidamos de las filas
por encima de esta.
1 7 2 4 3
0 3 2 5 7
0 0 0 1 3
0 5 0 4 7
0 0 0 0 0
6. Repetimos los pasos anteriores olvid´ndonos
a
de las filas ya escalonadas. Si la matriz ya
est´ escalonada ya hemos acabado....
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