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Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

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Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación.
Ampliación de Matemáticas.
Lección 5.

ANÁLISIS DISCRETO DE FOURIER.
Curso 2010-11

La transformación discreta de Fourier es una herramienta fundamental en el estudio y tratamiento de las señales digitales. Puede decirse, sin temor a exagerar, que su implementacióncomputacional, conocida como el algoritmo de la transformada rápida de Fourier o algoritmo
FFT (acrónimo del inglés fast Fourier transform) ha influido en nuestra vida cotidiana más que
cualquier otro concepto matemático en la Historia a través de su utilización en la discretización
y reconstrucción de señales. Su campo de aplicación abarca el funcionamiento de los discos
compactos, la mecánicaaplicada, la acústica, la ingeniería biomédica, el análisis sismográfico,
el procesado digital de señales, el rádar o el electromagnetismo aplicado, por citar unas pocas
áreas. Existen ya dispositivos electrónicos –chips– que llevan el algoritmo FFT incorporado y
que se pueden instalar en máquinas controladas por ordenadores.
En este tema veremos este algoritmo, cuyas raíces se encuentran en laobra de K. F. Gauss y
que fue creado en 1965 por J. W. Cooley y J. W. Tukey, y una serie de aplicaciones interesantes,
como la aproximación de los coeficientes de Fourier de una señal periódica o de la transformada
de Fourier de una señal continua no periódica, el análisis de los modos de vibración de los valores
de una onda obtenidos a intervalos iguales y la síntesis de dicha onda, laeliminación de ruidos
aleatorios y el cálculo del producto de polinomios. En asignaturas posteriores de la carrera podrás
estudiar otras aplicaciones más directamente relacionadas con el procesamiento digital de señales
acústicas y visuales.

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La transformación discreta de Fourier

Para realizar el tratamiento digital de señales continuas es necesario discretizar éstas, tomando
muestras, ytrabajar con las señales discretas que se obtienen. En la práctica, sin embargo,
las señales discretas que se pueden manejar deben tener duración finita. Es necesario, entonces,
plantearse lo que podríamos llamar un análisis de Fourier discreto que relacione señales discretas
en el dominio del tiempo con señales discretas en el dominio de la frecuencia o, en término
abstractos, vectores dedimensión finita con vectores de dimensión finita. Puesto que una de las
propiedades más importantes del análisis de Fourier continuo es la linealidad, debemos tratar de

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Lección 5. Análisis Discreto de Fourier

conservarla en el caso discreto, lo que nos llevará a plantear dicha relación entre vectores como
una aplicación lineal dada por una matriz.
Hay varios problemas cuya resoluciónacaba en la misma cuestión: una relación entre vectores
de valores en los dominios del tiempo y de la frecuencia definida por una matriz muy especial
que se conoce como matriz de Fourier. Dicha relación y las propiedades de dicha matriz son
la base del análisis discreto de Fourier. Veamos ahora uno de estos problemas, concretamente
el de interpolar datos periódicos mediante un polinomiotrigonométrico adecuado; más adelante
estudiaremos otras aplicaciones.
Interpolación trigonométrica. Tomando N muestras de una señal periódica f de período T
en instantes separados por intervalos regulares,
t0 = 0, t1 =

T
2T
kT
(N − 1)T
, t2 =
, . . . , tk =
, . . . , tN −1 =
,
N
N
N
N

conocemos los valores reales o complejos yk = f(tk ) que toma en estos puntos. Si queremos
reconstruirla señal a partir de dichos valores y no tenemos otra información, lo más sensato es
aproximarla mediante una combinación g(t) de funciones T -periódicas conocidas que tome en
dichos puntos el mismo valor que f , o sea, tal que g(tk ) = yk para k = 0, 1, . . . , N − 1. Este
procedimiento se conoce como interpolación trigonométrica y se dice que g es la función que
interpola los valores de...