Ing. civil

Producto punto
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno delángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1,1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valordel módulo de un vector de coordenadas = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que formanlos vectores = (1, 2, −3) y = (−2, 4, 1).

Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Ejemplo
Calcular los valores x e ypara que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

Propiedades del producto punto
1Conmutativa

2 Asociativa

3Distributiva

4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Interpretación geométrica del producto punto
El producto de dos vectoresno nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .
El vector proyección secalcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

Ejercicio
Dados los vectores yhallar:
1. Los módulos de y ·

2. El producto escalar de y ·

3. El ángulo que forman.

4. El valor de m para que los vectores y sean ortogonales.