Ing Civil

D epartamento de Matemática e Informática
a plicadas a la Ingeniería Civil
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS
DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

MÉTODOS NUMÉRICOS EN ELASTOPLASTICIDAD

Autor: Gabriel Asensio Madrid
Licenciado en Física Fundamental
Director: Carlos Moreno González
Doctor en Matemáticas

Miembros del tribunal encargado de juzgar la Tesis Doctoral
Presidente:
Vocal:Vocal:
Vocal Secretario:

Calificación:

Agradezco al Profesor Dr. Carlos Moreno González su esfuerzo por enseñarme a investigar en Matemáticas. Espero que, si aún le queda paciencia,
trabajemos juntos muchos años.
Agradezco su ayuda, a todos mis compañeros del Dpto. de Matemática
Aplicada de la E. U.I. T.Industrial, en especial al director del mismo Profesor
Sr. F. Javier López deElorriaga y Uzquiano, que siempre ha puesto a mi
disposición todos los medios del Departamento.
Pido perdón a Clara y Almudena por el tiempo que no les he dedicado.

Resumen
L os algoritmos de retorno son uno de los más eficientes métodos de integración de las ecuaciones de flujo plástico que aparecen en el problema del
s ólido elastoplástico. Sia embargo, el cálculo de la matriz tangenteconsistente es muy complicado cuando el retorno no es radial. En este trabajo se
h íin Cciracterizado las funciones de fluencia para las cuales el retomo es a lo
l argo de la linea del gradiente, obteniendo el resultado de que son aquellas
q ue verificcín una ecuación eikonal. Además se ha desarrollado una técnica,
b asada en expresar la tensión medicinte unos nuevos invariantes (naturales),
q uepermite expresar las ecuaciones no lineales de la proyección sobre el dominio de elasticidad como ima única ecuación esccilar y derivar la proyección
h asta obtener la matriz tangente de u n a forma simple (sin tener que recurrir a invertir el hessiano de la función de fluencia). Otros trabajos laterales
h an sido desarrollados en esta tesis doctoral. Se ha extendido el estudio a
l as funcionesde fluencia multisuperficies eikonales (Tresca). Para comprobar la eficacia de las nuevas fórmulas propuestas para el cálculo de la matriz
t angente consistente, se ha desarrollado im. código de elementos finitos que
h a permitido corapeirar los resultados con los obtenidos por otros autores.
A demás se ha comparado la eficiencia del algoritmo de la matriz tangente
c onsistente con otros detipo punto fijo.

í ndice General
1 I ntroducción a la elastoplasticidad
1.1 Notación
1.2 Ecuaciones de eqvúlibrio
1.3 Ecuaciones constitutivas
1.4 Plasticidad con endurecimiento

3
3
6
7
12

2 F ormulaciones matemáticas de la plasticidad
2.1 Ley de normalidad del flujo plástico
2.2 Formulaciones variacionales
2.2.1 Existencia y imicidad de soluciones

15
15
17
19

3 Discretización temporcd
3.1 Formulación incremental del problema
3.2 Algoritmos de retorno
3.2.1 Matriz tangente consistente para el modelo de plasticidad de von Mises
3.3 Algoritmos de punto
fijo

21
21
23

4 D iscretización e spacial
4.1 Formulación de elementos finitos con deformaciones supuestas

31
33

5

41
41
44
48

S isteméis de invariantes pcira tensores simétricos
5.1Sistemas de invariantes principales
5.2 Sistema de invariantes de Haigh-Westergaard
5.3 Nuevo sistema de iavariantes

6 F unciones de
fluencia
6.1 Propiedades generales de las funciones de
6.2 Funciones de fluencia clásicas
6.2.1 Función de von Mises
6.3 Función de Tresca

fluencia

25
27

55
55
59
59
61

6.4
6.5

6.3.1 Función de Mohr-Coulomb
63
Otras funciones defluencia: Función de Taylor-Matzenmiller . 64
Gradiente y Hessiano de xma función de
fluencia
65

7 M .T.C. en algoritmos de retorno a lo Icirgo del gradiente
7.1 Funciones de fluencia eikonales
7.2 Funciones de fluencia "eikonales" singulares
7.2.1 Interpretación geométrica
7.2.2 Proyección en el caso de la función de Tresca
7.2.3 Selección de las superficies activas en el caso de la...