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Gráfica de una función cúbica.
La gráfica de una función cúbica [pic], [pic], puede tener las siguientes características:
a) contiene una cresta de máximo, una cresta de mínimo y un punto de inflexión localizado entre el punto de máximo y el punto de mínimo.
b) no contiene crestas pero sí contiene un punto de inflexión.


[pic]

[pic]
[pic]

[pic]


Puntos de máximo y de mínimo.Las coordenadas x de los puntos de máximo y de mínimo (si es que existen) de la gráfica de la función polinomial cúbica f (x) = ax3 + bx 2 + cx + d, se obtienen resolviendo la ecuación 3ax 2 + 2bx + c = 0, esto es, la derivada de la función igualada a cero.

Nota: si la ecuación anterior presenta soluciones complejas, entonces no existen puntos de máximo ni de mínimo (la gráfica no tienecrestas de máximo ni de mínimo).
Las coordenadas y de estos puntos se obtienen sustituyendo las coordenadas x anteriores en y = f (x) = ax3 + bx 2 + cx + d .




Punto de inflexión.
La coordenada x del punto de inflexión de la gráfica de la función polinomial cúbica
f (x) = ax3 + bx 2 + cx + d, se obtiene resolviendo la ecuación 6ax + 2b = 0, esto es, la segunda derivada de lafunción igualada a cero.
La coordenada y de este punto se obtiene sustituyendo la coordenada x anterior en
y = f (x) = ax3 + bx 2 + cx + d .



Ejercicios #8 de polinomios.
1. Sea [pic]. Trace la gráfica de f para:
(a) [pic] (b) [pic] (c) [pic] (d) [pic]
Nota: -Indique el cruce con el eje x
-Indique el cruce con el eje y
-Indique el punto de inflexión

2. Sea [pic]. Trace lagráfica de f para:
(a) [pic] (b) [pic] (c) [pic] (d) [pic]
Nota: -Indique el cruce con el eje x
-Indique el cruce con el eje y
-Indique el punto de inflexión


Haga la gráfica de las siguientes funciones.
Nota: -Indique el o los cruces con el eje x
-Indique el cruce con el eje y.
-Indique los valores máximo y mínimo de [pic] si es que existen.
-Indique el punto de inflexión
3. [pic]
4.[pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]






Respuestas de ejercicios #8 de polinomios.
1-a
raiz real: x = -1
punto de inflexión: (0,2)
cruce con eje x: (-1, 0), cruce con eje y: (0, 2)
[pic]



1-b
raiz real: x = -0.794
punto de inflexión: (0, 2)
cruce con eje x: (-0.794, 0), cruce con eje y: (0, 2)
[pic]

1-c
raíz real: x = -2
punto de inflexión: (0, 2)cruce con eje x: (-2, 0), cruce con eje y: (0, 2)
[pic]




1-d
raíz real: x = 1
punto de inflexión: (0, 2)
cruce con eje x: (1, 0)
cruce con eje y: (0, 2)
[pic]

2-a
raíz real: x = -1
punto de inflexión: (0, 2)
cruce con eje x: (-1, 0), cruce con eje y: (0, 2)
[pic]


2-b
raíz real: x = -1.260
punto de inflexión: (0, 4)
cruce con eje x: (-1.260, 0)
cruce con eje y: (0,4)
[pic]



2-c
raíz real: x = -0.5
punto de inflexión: (0, 0.25)
cruce con eje x: (-0.5, 0)
cruce con eje y: (0, 0.25)
[pic]

2-d
raíz real: x = 1
punto de inflexión: (0, -2)
cruce con eje x: (1, 0)
cruce con eje y: (0, -2)
[pic]

3.
raíces: x = -3, 2, 2.5
máximo: f (-1.256) = 42.657, mínimo: f (2.256) = -0.657, punto de inflexión: (0.5, 21)
cruces con eje x: (-3, 0),(2, 0), (2.5, 0)
cruce con eje y: (0, 30)
[pic]

4.
raíz real: x = 3
máximo: f (-0.690) = -3.255, mínimo: f (1.690) = -16.745, punto de inflexión: (0.5, -10)
cruce con eje x: (3, 0)
cruce con eje y: (0, -6)
[pic]

5.
raíces: x = -2, -0.5, 0.667
máximo: f (-1.383) = 6.7, mínimo: f (0.161) = -4.334, punto de inflexión: (-0.611, 1.183)
cruces con eje x: (-2, 0), (-0.5, 0),(0.667, 0)
cruce con eje y: (0, -4)
[pic]

6.
raíces: x = -4, -0.333, 2.5
máximo: f (-2.493) = 97.502, mínimo: f (1.270) = -62.358,
punto de inflexión: (-0.611, 17.572)
cruces con eje x: (-4, 0), (-0.333, 0), (2.5, 0), cruce con eje y: (0, -20)
[pic]


7.
raíz real: x = 1.333
máximo: f (-1.838) = -9.764, mínimo: f (0.060) = -20.031,
punto de inflexión: (-0.889, -14.897)
cruce...