Ing De Sistemas

Clase #1 Funciones.
Las funciones surgen siempre que una cantidad (magnitud) depende de
otra.
Ej1: La longitud l de una circunferencia depende de su radio r, según la
fórmula l = 2 r:
p
1
r12
2
p2
2
l2 4 2
22
A cada valor de r corresponde un único valor de l: Se dice que l es
función de r:
Ej2: La población humana de la tierra p depende del tiempo t
t(años)
1900 1910
p(millones)1650 1750

2000
6000

Ej3: El costo c de una carrera en taxi depende de la distancia d recorrida.
De…nición: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de
un conjunto A un y sólo un elemento, denotado por f (x); de un
conjunto B .
. El elemento f (x) es llamado la imagen de x por f o el valor de f en x:
. El conjunto A es llamado dominio de f y lo denotamos Df :
. Elconjunto de las imágenes de los elementos de A es llamado rango
de f . Lo denotamos por Rf :
Rf = ff (x) : x 2 Df g
Para nosotros A y B serán subconjuntos de números reales.
Una de las formas de describir una función f es mediante una fórmula
que especi…ca la imagen f (x) de cada valor elemento del dominio de f:
Si el dominio de f no aparece explícito, entenderemos que
Df = fx 2 R = f (x) 2 RgEj4: f (x) = 3x2 1; 0 x 2: En este caso Df está explícito:
Df = fx = 0 x 2g = [0; 2] :
1

Ej5: Digamos que nos dan solamente f (x) =
En este caso se entiende que

p

2x

1:

Df = fx 2 R = f (x) 2 Rg
= fx 2 R = 2x 1 0g
= x2R=x 1
2
= 1; 1
2
Ej6: Hallar Dg si g (x) = p
Dg =
=
=
=

1

x2
fx 2 R
fx 2 R
fx 2 R
( 1;

1
= g (x) 2 Rg
= x2 1 > 0g
= (x 1)(x + 1) > 0g1) [ (1; 1):

Grá…ca de una función: La grá…ca de una función f es el conjunto de
todos los puntos (x; f (x)) en un plano cartesiano xy , con x 2 Df :
Se denota por Gráff:
Gráff = f(x; f (x)) = x 2 Df g
= f(x; y ) = x 2 Df y y = f (x)g
. La ecuación y = f (x) (con x 2 Df ) es la ecuación de la grá…ca de f .
. Un punto (x; y ) está sobre la grá…ca de f sii se cumple que y = f (x):
Ej6: Seda la grá…ca de una función f
Ej7: Para c/u de las funciones siguientes, dar el dominio, trazar la grá…ca
y deducir de la grá…ca el rango.
p
a) f (x) = x 1
b) g (x) = x2
c) h(x) = x:
La grá…ca de una función es una curva en el plano xy . ¿Cuáles curvas
en el plano xy son grá…cas de funciones de x?
Rta: (Prueba de la recta vertical) una curva en el plano xy es la
grá…ca de una función de xsi y sólo si ninguna recta vertical
(paralela al eje y ) corta la grá…ca más de una vez.
Clase #2 Funciones seccionalmente de…nidas o por ramas.
2

Son funciones que están de…nidas por lo menos por dos fórmulas
diferentes en partes distintas del dominio.
Ej1:
f (x) =

x
p 1 si x < 0
x + 2 si x 0

Valor absoluto: El valor absoluto de un número x; denotado jxj es la
distancia del #xal #o; en una recta real.
En general
x si x 0
x si x < 0

jxj =
Algunas propiedades son:
jxj 0
jxj = j xj
para a > 0
jxj = a () x = a
jxj a () a x a
jxj a () x
aóx

a:

x si x 0
x si x < 0
Para x 0, la ecuación de la grá…ca es y = x que corresponde a una
recta que pasa por (0; 0) y (1; 1):
Para x < 0, la ecuación de la grá…ca es y = x que corresponde a una
recta que pasa por(0; 0) y ( 1; 1):
Grá…ca de la función f (x) = jxj =

3

y

5

3.75

2.5

1.25

-5

-2.5

0

2.5

5
x

Ej2: Expresar por ramas y sin las barras de valor absoluto a
f (x) = j2x 1j :

p
Relación entre j:j y (:)2
p
p
Ej3: (2)2 = 2 y ( 2)2 = 2 =
p
luego x2 = jxj :

( 2). En general

p

x2 =

x si x 0
x si x < 0

Simetría
a) La grá…ca de una función f essimétrica respecto al eje y si y sólo si
f ( x) = f (x) para todo x 2 Df : (1)
Una función con la propiedad (1) se dice función par.
b) La grá…ca de una función f es simétrica respecto al origen si y sólo si
f ( x) =

f (x) para todo x 2 Df : (2)

Una función con la propiedad (2) se dice función impar.
Ej3: para c/u de las funciones dadas, determinar si es par, impar
ó ninguna
2 jxj...