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SOLUCIONES NUMÉRICAS
Método de las diferencias finitas
Mecánica de Fluidos IMPT 210
Ingeniería Civil en Obras Civiles 2011
Octubre 2013

SOLUCIONES NUMÉRICAS
Método de las diferencias finitasf

fx  dx

lím fx  dx  fx
df
f  
dx dx  0
dx

fx

dx

X
x  dx

Expansión de una función continua en series de Taylor
f (x)
f ( x  h)

f (x)

f ( x  h)

h

hx h

X

xh

X
2

3

h
h
f (x  h) f (x)  hf  (x)  f  (x)  f (x)  ...
2!
3!
2

3

h
h
f (x  h) f (x)  hf  (x)  f  (x) 
f (x)  ...
2!
3!

De aquí sepueden obtener 3 expresiones para la primera derivada de f(x):

f ( x  h)  f ( x ) h
h2
f ( x) 

f ( x) 
f ( x)...
h
2!
3!

f ( x )  f ( x  h) h
h2
f ( x) 
 f ( x) f ( x)...
h
2!
3!

f ( x  h)  f ( x  h) h 2
f ( x) 

f ( x)...
2h
2 3!

Si se truncan estas series infinitas se obtienen las expresiones aproximadas
para evaluar la primeraderivada

f ( x) 

f ( x  h)  f ( x )
h

Diferencia finita adelantada

f ( x) 

f ( x )  f ( x  h)
h

Diferencia finita atrasada

f ( x) 

f ( x  h)  f ( x  h)
2hDiferencia finita centrada

Con un procedimiento similar se pueden obtener expresiones
aproximadas para las segundas derivadas de la función

f ( x )  2 f ( x  h )  f ( x  2h)
f " ( x) 
h2f " ( x) 

f ( x  2 h)  2 f ( x  h)  f ( x )
h2

f ( x  h)  2 f ( x )  f ( x  h)
f " ( x) 
h2

Diferencia finita adelantada
para segunda derivada

Diferencia finita atrasadapara segunda derivada

Diferencia finita centrada
para segunda derivada

Notación indicial para el método de Diferencias Finitas
Diferencia finita centrada
para primera derivada

f (x)
fi2

fi 1

fi

f i 1

f i 2

f i

h h h h
i 2

i 1

i

i 1

f i 1  f i  1
2h

Diferencia finita centrada
para segunda derivada
i2

f "i 

f i  1  2 f i  f...