Ing. Economica

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional
UNIDAD V: FLUJOS DE EFECTIVOS EN FORMA DE GRADIENTES

1.1 Serie de gradiente y su relación con el presente
1.2 Gradiente aritmético
1.3 Gradiente geométrico
1.4 Valor de flujos múltiples con crecimiento aritmético y geométrico
1.5 Interés nominal
1.6 Interés efectivo

1

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y ProfesionalSERIE DE GRADIENTE (ARITMÉTICO Y GEOMÉTRICO) Y SU RELACIÓN CON EL PRESENTE
Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por
ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada período. También,
es posible que ciertos proyectos generen flujos que seincrementen un cierto porcentaje constante por cada período. Este último caso
se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen un cierto porcentaje constante por período.
A esta razón de crecimiento constante (cantidad o porcentaje) en ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.
Gradiente Aritmético:
Un gradiente aritmético ( g ) ouniforme es una serie de flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Es decir que el
flujo de caja, ya sea ingreso o desembolso, cambia en la misma cantidad cada año. La cantidad de aumento o disminución es el
gradiente.
Al desarrollar una fórmula que se pueda utilizar para gradientes aritméticos o uniformes es conveniente suponer que el primer flujo de la
serie se encuentra al finaldel período 1 y no involucra un gradiente, sino un pago base.
g = Cambio uniforme aritmético en la magnitud de las entradas o de los ingresos.

El valor de g puede ser positivo o negativo. Si ignoramos el pago base, podríamos construir un diagrama generalizado de flujo de caja
2

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional
de gradiente creciente uniforme como se muestra en lasiguiente figura:

Serie de gradiente uniforme ignorando la cantidad base.
(1) Determinación del presente de la serie gradiente uniforme (aritmético):

(2) Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i), resulta:

3

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional

Restando la ecuación (2) menos (1):

Despejando:

La expresión entre llaves es el valor presente de una serieuniformes de 1 a n años.

Factorizando, se determina la fórmula para obtener el valor presente equivalente de un gradiente aritmético conocido, como:

4

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional

Al despejar F, pasando (1+i)n al otro lado de la ecuación, se determina la fórmula para obtener el valor futuro equivalente de un
gradiente aritmético conocido, como:

Como:5

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional
Desarrollando:

Por lo que una anualidad A dado un gradiente g, es:

Ejemplo

Una persona deposita en una cuenta de ahorros una cantidad anual que va disminuyendo a una cantidad constante de $ 500 por año. La
magnitud del primer depósito que se hace es de $ 10,000 y el último de $ 5,500. Si en la cuenta de ahorros se gana un 15%anual ¿de
qué magnitud debe ser un depósito anual constante durante el mismo tiempo para que el monto acumulado sea el mismo?

Gradientes geométricos.
6

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional
Algunas veces los flujos de caja cambian en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de
dinero. Este tipo de flujo de caja, es llamadoserie de flujos de tipo gradiente geométrico o series en escalera. A los porcentajes
constantes es a lo que se le conoce como gradiente geométrico, esto se muestra en la siguiente figura, donde A representa la cantidad
de dinero en el año 1 y j representa al incremento porcentual.

7

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y Profesional

8

Tópicos Selectos de Desarrollo Académico y...