ing electrica

Matem´tica Aplicada
a
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Apunte de las materias
Matem´tica Aplicada
a
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Posgrados de la Universidad Nacional del Litoral
Hugo Aimar, Bruno Bongioanni, Pedro Morin
6 de junio de 2012

Presentaci´n
o
Este apunte contiene las notas del curso Matem´tica Aplicada, curso de posgrado para
a
la Facultad de Ingenier´ Qu´
ıaımica y la Facultad de Ingenier´ y Ciencias H´
ıa
ıdricas de la
Universidad Nacional del Litoral. Este curso se dicta en paralelo con el curso Ecuaciones
en Derivadas Parciales, optativa de la Licenciatura en Matem´tica Aplicada, y de posa
grado para el doctorado y la maestr´ en Matem´tica. En la secci´n Ejercicios de cada
ıa
a
o
cap´
ıtulo hay problemas marcados con un asterisco. Estosproblemas m´s te´ricos est´n
a
o
a
pensados para los alumnos de estas ultimas carreras. Los problemas marcados con dos
´
asteriscos son tambi´n para alumnos de estas carreras, pero son opcionales; si bien est´n
e
a
relacionados con los contenidos del cap´
ıtulo correspondiente, no son tan importantes para
el objetivo del curso. Los alumnos del doctorado o la maestr´ en matem´tica deber´ıa
a
ıan
hacerlos.
Este apunte fue escrito durante el dictado de los cursos en el primer cuatrimestre
de 2011, y ser´ actualizado durante el dictado en el primer cuatrimestre de 2012. Cuala
quier sugerencia u observaci´n sobre errores ser´ agradecida por los autores del apunte y
o
a
tambi´n por los futuros alumnos del curso.
e

Santa Fe, marzo de 2012

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´
Indice general
1. Laintegral como un promedio
1.1. Desplazamiento y velocidad .
1.2. Masa y densidad . . . . . . .
1.3. Valor medio en R . . . . . . .
1.4. Valor medio en R2 y R3 . . .
1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . .
1.6. Valor medio generalizado . . .
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . .

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2. Integrales de l´
ınea y de superficie
2.1. Integrales del´
ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Algunos resultados del C´lculo Vectorial
a
3.1. Definici´n de operadores diferenciales . .
o
3.2. Divergencia y flujo . . . . . . .. . . . .
3.3. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . .
3.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . .
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4. Coordenadas Generalizadas en el Espacio
4.1. Superficies coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Curvas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
4.3. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. C´lculo de longitudes en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . .
a
4.5. C´lculo de ´reas de superficies coordenadas en coordenadas generalizadas
a
a
4.6. C´lculo de vol´menes de cubos con aristas que sean curvas coordenadas .
a
u
4.7. Los operadores diferenciales encoordenadas generalizadas . . . . . . . . .
4.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Leyes de conservaci´n. Ecuaciones constitutivas
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5.1. Leyes de conservaci´n. Balance . . . . . . . . . .
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5.2. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Reducci´n de dimensiones . . . . . . . . . . . . .
o5.4. Condiciones iniciales y de borde . . . . . . . . . .
5.5. La ecuaci´n de Laplace y la ecuaci´n de Poisson .
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