Ing. en desarrollo comunitario

 
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
 
  |  Definición  [Funciones homogéneas] |
  | Una función se dicehomogénea de grado si
para todo y todo . |
 
Ejemplo
1. La función es homogéénea de grado .
2. Las funciones , , son homogéneas de grado 0.
3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
 
  |  Definición [Ecuación diferencial homogénea] |
  |  Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea sila función es homogénea de orden cero. |
 
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones homogéneos del mismo grado.
 
  |  Teorema |
  | Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.   |
 Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos

Pero como es una función homogénea de grado cero tenemos que

de donde

la cual es separable, como se quería.
 
Ejemplo
 
Resuelva la ecuación diferencial

La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de grado dos

Haciendo la sustitución

de donde

Integrando y volviendo a las variables y obtenemos

Noteque es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
 
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

conviene más rescribirla en la forma

y aplicar quí el cambio de variable .
Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial

Factorizando

Haciendo la sustitución

Integrando

Y despejando

Observación: al dividir por el factor sepudo haber perdido algunas soluciones, pero no es solución y que son soluciones singulares.

     |  Ecuaciones diferenciales exactas Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial.     |  Definición [Vector gradiente] |
  | Sea una función escalar, entonces el gradiente es la función vectorial dada por   |

Ejemplo
El gradiente de la función es
    |  Definición[Campo vectorial conservativo] |
  | Sea una función vectorial, decimos que es un campo vectorial conservativo si existe una función escalar tal que . A la función escalar se le llama función potencial. |
 Ejemplo
La función vectorial es un campo vectorial conservativo, pues, si se tiene que . La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo,pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.      |  Teorema |
  | Sea un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa1.1 y dado por
donde y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en , entonces es conservativo sí y sólo sí    |

De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, comoveremos en el próximo ejemplo. Ejemplo 
El campo vectorial
es conservativo, pues si
tenemos que
Como es conservativo, existe una función escalar tal que
de donde, como
Derivando con respecto a e igualando a la derivada parcial
Con lo cual .  Observación: algunas veces resulta más fácil integrar respecto a y respecto a y luego elegimos como la suma de ambos, tomando los términos repetidosuna vez.      |  Definición [Ecuación diferencial exacta] |
  | Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma
es exacta si el campo vectorial asociado
es conservativo.   |
     |  Teorema |
  | La solución general de la ecuación diferencial exacta
está dada por , donde es la función potencial del campo vectorial .   |
 Demostración: Comprobemos que es...