Ing. En Sistemas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Fracciones algebraicas

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS FRACCIONES ALGEBRAICAS

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios:

P (x ) Q(x )
Las expresiones racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Como no se puede dividirpor cero, las sustituciones de variables que hacen que el denominador sea cero no son aceptables. Ejemplos.

3x 2 + 5x − 7 1) En la expresión racional , x no puede ser 0 x x 2) En la expresión racional , x no puede ser − 2 x+2 4 3) En la expresión racional , x no puede ser igual a y . x− y
Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factorescomunes diferentes de 1 y − 1

x+6 es su mínima expresión ya que ni 5 ni x son factores de x + 6 5x 7( x − 2 ) 2) La fracción no es su mínima expresión ya que x − 2 es un factor común del numerador y del x (x − 2 )
1) La fracción denominador.

Ejemplos.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar expresiones racionales, se procede de forma similar a cuando se simplificannúmeros racionales, es decir, se factoriza el numerador y el denominador. Los factores se simplifican hasta 1 . La expresión simplificada es igual a la no simplificada excepto para aquellos valores en los que el factor que se cancele sea igual a cero. Ejemplos. Simplificar las siguientes expresiones racionales: 1)

4x − 8 4x
1

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Fraccionesalgebraicas

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4 x − 8 4( x − 2 ) x − 2 = = 4x 4x x
2)

x 2 −1 x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x − 1) = x − 1 x 2 −1 = 2 x + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) x + 2

3)

5 − 2x 6 x − 15 − 1(2 x − 5) 5 − 2x 5 − 2x 1 = = =− 6 x − 15 3(2 x − 5) 3(2 x − 5) 3

2 x 2 − 12 x − 14 4) 4 x 2 + 8x + 4 2 x 2 − 12 x − 14 2 x 2 − 6 x − 7 2( x + 1)(x − 7 ) x−7 = = = 2 2 4 x + 8x + 4 4 x +2 x + 1 4( x + 1)( x + 1) 2( x + 1)

( (

) )

(3x 5)
(3x
2

2

− 12 y 2 x 2 − 2 xy + y 2 3 x 2 − 4 y 2 (x − y ) 3( x + 2 y )( x − 2 y ) 3( x − 2 y ) = = = 2 2 6( x + 2 y ) 6 (x − y ) (6 x + 12 y ) 6( x − y ) ( x + 2 y ) x − 2y = 2 2 x − 2x 6) x En esta expresión racional x no puede ser 0 , y como es el factor que se cancela entonces se cumple que: x 2 − 2 x x(x − 2) = = x − 2 porque x≠ 0 . x x
2

− 12 y 2 x 2 − 2 xy + y 2 (x − y )2 (6 x + 12 y )

)(

)
)

)(

) (

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para sumar algebraicamente fracciones se efectúa el mismo procedimiento que se emplea cuando se suman números racionales. En general:
• • • •

Se reducen las fracciones lo más posible. Se descomponen los denominadores Se halla el mínimo común múltiplo (MCM) delos denominadores, obteniendo así el denominador común. Para hallar el numerador resultante, se divide el MCM por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente, esto convierte al numerador en un polinomio que debe descomponerse en factores para finalmente simplificar.

2

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Ejemplos. Efectuar las operaciones algebraicas siguientes: 1)

x − 2 3x + 2 + 4 6

3( x − 2) + 2(3 x + 2 ) 3 x − 6 + 6 x + 4 9 x − 2 = = 12 12 12 x − 2 3x + 2 9 x − 2 ∴ + = 4 6 12 =
2)

Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores: 12 :

x − y 2x + y y − 4x + + 12 15 30

Solución. Se obtiene el MCM de los denominadores:

5( x − y ) + 4(2 x + y )+ 2( y − 4 x ) 60

60 :

5x − 5 y + 8x + 4 y + 2 y − 8x 5x + y = 60 60 x − y 2 x + y y − 4 x 5x + y ∴ + + = 12 15 30 60
3)

reduciendo:

2a 5a 12 a + + 2 a+3 a −3 a −9

Solución. Se descompone el tercer denominador en sus factores:

=

2a 5a 12a + + a + 3 a − 3 (a + 3)(a − 3)

se obtiene el MCM de los denominadores:

=

(a − 3)2a + (a + 3)5a + 12a (a + 3)(a − 3)

(a +...