ing financiera

REGRESIÓN LINEAL
Planteamiento
El comportamiento de una magnitud económica puede ser explicada a través de otra
Y =F(X)
Si se considera que la relación puede ser de tipo lineal, la formalización vendría determinada por una ecuación como la siguiente
Y=β1 +β2X
Planteamiento
Dado que las relaciones en la ciencias sociales no son exactas se incluye el término de pertubación aleatoria
Y=β1+β2X+U
Supongamos que se dispone de T observaciones de las variable Y y X
Y1 =β1 +β2X1 +u 1
Y2 =β1 +β2X2 +u 2 ……………………………… Yn =β1 +β2Xn +u n
Planteamiento
De forma abreviada el sistema de ecuaciones se puede escribir de la siguiente manera
Yt =β1 +β2X t +U t
t = 1, 2, 3…………….,T.
Planteamiento
El objetivo del análisis de regresión es la estimación de los parámetros.
El primer paso es larepresentación gráfica de las variables (y,x) en un diagrama de dispersión
Relación Lineal Exacta Relación Lineal Exacta
14
12
10
8
6
4
2
0 10 14
12
10
8
6
4
2
0 10






0 2 4 6 8
X 0 2 4 6 8
X
Planteamiento
Dado que la relación de dependencia entre ambas variables es aleatoria o estocástica, las observaciones no seencontrarán a lo largo de una recta
La estimación de los parámetros supone encontrar la ordenada en el origen y la pendiente de una recta que mejor se aproxime a los puntos
Planteamiento
Recta de Regresión Especificada
Yt =β1 +β2 X t +U t
Recta de Regresión Estimada
Yˆt =βˆ1 +βˆ2X t
Errores o residuos
uˆt =Yt −Yˆt =βˆ1 −βˆ2X t
Criterios de Ajuste
a) La suma de todos los residuossean próximas a cero
T
Minimizar ∑uˆ t
t=1
b) La suma de todos los residuos en términos absolutos sean próximas a cero
n
Minimizar ∑ t =1 uˆ t
c) La suma de todos los residuos elevados al cuadrado sean próximas a cero
n 2
Minimizar ∑ t=1uˆt
Obtención de los estimadores
Los estimadores se obtienen aplicando el criterio de minimización de la suma cuadrática de los errores
n nS=∑(Yt −Yˆt )2 =∑(Yt −βˆ1 −βˆ2Xt ) 2
t=1 t=1
Para minimizar S se derivará la función respecto de cada uno de los parámetros
∂Sˆ =−2∑t=n 1 (Yt −β ˆ1 −βˆ2X t ) = 0 ∂β1



∂βˆ2 t=1 1 2 t t

Regresión Lineal
Obtención de los estimadores
Operando y reagrupando términos se obtendría, la expresión analítica de los estimadores mínimo-cuadráticos de la regresión lineal simple:
βˆ1=Y−βˆ2X βˆ2 = Cov(Y , X ) var( X )



En el caso de un modelo de regresión lineal múltiple, las expresiones anteriores se transformarían del siguiente modo:



βˆ1 =Y−βˆ2X2 −βˆ3X3 βˆ2 = Cov(Y, X2) −βˆ3Cov(X2, X3)

var(X2)
βˆ3 =Cov(Y, X3)−βˆ2Cov(X3, X2)

var(X3)
Hipótesis

Hipótesis
Forma funcional
Yt =βˆ1 +βˆ2X2t +βˆ3X3t +βˆ4X4t ++βˆk X kt +u t
a) La relación entre lavariable dependiente y las variables independientes es tipo lineal. La incorporación del término de perturbación aleatoria de forma aditiva, garantiza a su vez la relación lineal con el resto de elementos
Hipótesis
Sobre la perturbación aleatoria
a) La perturbación aleatoria es una variable aleatoria no observable
La perturbación aleatoria representa el conjunto de variables que a tono individualposeen un efecto irrelevante, no obstante, el efecto total recogido por esta no es desdeñable. Adicionalmente representa la aleatoriedad intrínseca del comportamiento humano, con lo que dicha variable toma valores siguiendo una distribución de probabilidades
Dado que la variable dependiente es una combinación lineal del término de perturbación aleatoria ésta constituye igualmente una
variablealeatoria
Hipótesis
Sobre la perturbación aleatoria
b) El promedio es igual a cero.
Los efectos individuales de las variables incluidas en el término de pertubación aleatoria tienden a compensarse.
b) Son homoscedásticas.
Las poblaciones de Y dado los distintos valores de X tienen la misma varianza
Hipótesis
Sobre la perturbación aleatoria
d) No existe autocorrelación entre las...