Ing. Industrial

Números reales
Números naturales: principio de inducción
Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos operaciones, la suma de números naturales yel producto de números naturales, que dan como resultado otro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su suma suele representarse por m+n y su producto porm · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamos con N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto como aplicaciones del producto cartesiano N × N en N:+ : N × N → N, · : N × N → N.
(m, n) → m + n (m, n) → m · n
A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, p representan números naturales cualesquiera):
•Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p).
• Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m.
• Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np).
• Propiedad conmutativa del producto:mn = nm.
• Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1,tal que 1 · n = n · 1 = n.
• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) =mn + mp
Números reales: operaciones algebraicas
En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo. Esto significa que si a, b, c son números realescualesquiera, se cumple:
a) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c).
b) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a.
c) Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, quedenotamos por 0, tal que 0+a = a + 0 = a.
d) Elemento opuesto para la suma: hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0.
e) Propiedad asociativa delproducto: (ab)c = a(bc).
f) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba.
g) Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a....