Ing. Industrial

Apuntes de Calculo diferencial 
1.3 Propiedades de los números reales. 
 

Axioma del supremo 
Antes de presentar el axioma del supremo, axioma de los números reales, debemos estudiar una serie  de  definiciones  que  sirven  para  acotar  conjuntos:  cotas  superiores  e  inferiores,  máximos  y 
mínimos, supremos e ínfimos. 
 
Acotado superiormente 
Un  conjunto  es  acotado superiormente  si  existe  un  real    que  es  mayor  que  todos  los 
elementos del conjunto  . A este número  , se le llamará cota superior de  . Cualquier otro real 
mayor que  será una cota superior de  .  
Acotado inferiormente 
Un conjunto  es acotado inferiormente si existe un real   que es menor que todos los elementos 
del conjunto  . A este número  , se le llamará cota inferior de . Cualquier otro real menor que 
, también será una cota inferior de  .  
Un conjunto acotado superior e inferiormente se dice acotado. 

 
Ejemplo 1 
Sea  el  conjunto  A=(‐inf,5).  Este intervalo  es  acotado  superiormente,  una  cota  superior  es  5,  y  el 
conjunto de las cotas superiores es [5,inf). El intervalo no es acotado inferiormente pues no hay un número menor al infinito.  
Sea  el  conjunto  B=[‐1,3].  Este  intervalo  es  acotado  superiormente,  una  cota  superior  es  3,  y  el conjunto de las cotas superiores es [3,inf). El intervalo es acotado inferiormente, una cota inferior 
es ‐1 y el conjunto de las cotas inferiores es (‐inf, ‐1].  
 
 
 
 
 
 
 

Dr. Juan M. Camacho 
 

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Apuntes de Calculo diferencial 1.3 Propiedades de los números reales. 
 

Máximo 
Diremos que un conjunto A posee máximo, si posee una cota superior que pertenece al conjunto. 
Mínimo Diremos que un conjunto A posee mínimo, si posee una cota inferior que pertenece al conjunto. 
 
 

Ejemplo 2 
Sea A=(‐inf, 5). No posee máximo, ya que el conjunto de todas las cotas superiores es [5, inf), pero 
5 no pertenece al conjunto.  ...