ing informatica

Fundamentos F´
ısicos y Tecnol´gicos (G.I.I.)
o
Curso 2010/2011
Relaci´n de problemas 1
o
1. Calcula los vectores unitarios que marcan la direcci´n y el sentido de los siguientes veco
tores:
a) a = 2ˆ − ˆ + k
i j ˆ
b) b = −7ˆ + 2ˆ − k
i
j ˆ
ˆ
c) c = 8ˆ − 3k
i
ˆ
2. Determinar los angulos α, β y γ que el vector a = xˆ + yˆ + z k forma con los sentidos
´
i
j
2
positivos de losejes de coordenadas y demostras que cos α + cos2 β + cos2 γ = 1.
ˆ
ˆ
ˆ
3. Dados los vectores a = 2ˆ − ˆ + k, b = ˆ + 3ˆ − 2k y c = −2ˆ + 1ˆ − 3k y d = 3ˆ + 2ˆ + 5k,
i j ˆ
i
j
i
j
i
j
hallar los valores de los escalares r, s y t de forma que d = ra + sb + tc.
ˆ
4. Dados los vectores a = 2ˆ + 2ˆ − k y b = 6ˆ − 3ˆ + 2k, calcular:
i
j ˆ
i
j
a) El angulo que forman los dos vectores´
b) La proyecci´n del primero sobre el segundo
o
ˆ
5. Dados dos vectores a = 2ˆ + ˆ + 3k y b = −ˆ + 3ˆ − k, calcular,
i j
i
j ˆ
a) El angulo que forman.
´
b) El m´dulo del vector suma
o
c) Un vector unitario en la misma direcci´n de a.
o
d ) Un vector unitario en la misma direcci´n de b.
o
e) Un vector unitario en la misma direcci´n de a × b.
o
f ) Un vector unitario en la mismadirecci´n de b × a.
o
6. Dados los vectores a =
demostrar que:

1
7

ˆ
2ˆ + 3ˆ + 6k , b =
i
j

1
7

ˆ
3ˆ − 6ˆ + 2k
i
j

yc=

1
7

ˆ
6ˆ + 2ˆ − 3k ,
i
j

a) Son vectores unitarios.
b) Son perpendiculares entre s´
ı.
c) c es el producto vectorial de a por b.
7. El vector a = 2ˆ − ˆ + k multiplicado vectorialmente por un vector b da como resultado
i j ˆ
ˆ
a × b =−3ˆ − 3ˆ + 3k. Por otra parte, el producto escalar es (a · b = 3). Hallar el vector b.
i
j
8. Una part´
ıcula se mueve a lo largo de la curva cuyas ecuaciones param´tricas son:
e

 x = 2t2
y = t2 − 4t

z = 3t − 5
siendo t el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad y la aceleraci´n en el instante
o
t=1.
1

9. Siendo v = v(x, y) una funci´n vectorial de dos variablesescalares dada por v = (2x2 y −
o
ˆ
4x4 )ˆ + (exy − y sin x)ˆ + (x2 cos y)k se pide:
i
j

b)

∂v
∂x
∂v
∂y

c)

∂2v
∂x2

d)

∂2v
∂x∂y

e)

∂2v
∂y∂x

a)

ˆ
10. Hallar C v · dr desde P1 =(0,0,0) a P2 =(1,1,1) siendo v = (3x2 + 6y)ˆ − (14yx)ˆ + (20xz 2 )k
i
j
2
3
siendo C la curva cuya trayectoria viene dada por x = t, y = t y z = t
ˆ
11. Calcular la circulaci´n delvector v = (x2 − 2yz)ˆ + (y + xz)ˆ + (1 − 2xyz 2 )k entre los
o
i
j
puntos (0,0,0) y (1,1,1).
a) A lo largo del segmento de vector que une (0,0,0) y (1,1,1).
b) A lo largo de los segmentos de (0,0,0) a (0,0,1), de (0,0,1) a (0,1,1) y de (0,1,1) a
(1,1,1).
c) A lo largo de la curva: x = t, y = t2 , z = t3 .
d ) A la vista de los resultados, ¿podr´ concluir si el campo definido por el vector aes
ıa
conservativo?
12. Sea el campo vectorial a = x2ˆ Calcule el flujo de dicho campo a trav´s de los rect´ngulos
i.
e
a
de v´rtices:
e
a) (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)
b) (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1)
13. Expresa los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas en los sistemas de coordenadas que se indican en cada apartado:
a) P=(1,1,0) en cil´
ındricas.
b) P=(1,1,0)en esf´ricas.
e
c) P=(1,1,1) en cil´
ındricas.
d ) P=(1,1,1) en esf´ricas.
e
e) P=(-3,0,0) en esf´ricas.
e
f ) P=(-3,0,0) en cil´
ındricas
14. Exprese los siguientes puntos dados en coordenadas cil´
ındricas y esf´ricas en el sistema
e
de coordenadas cartesianas:
a) P=(1,π,0) en cil´
ındricas
√
e
b) P=( 3,π/4,π) en esf´ricas
√
c) P=( 2,0,1) en cil´
ındricas
d ) P=(5,0,0) enesf´ricas
e
15. Sea el campo escalar definido por U (x, y, z) =
2

x2 + y 2 .

a) Dibuje las superficies equiescalares correspondientes a los valores U =1, U =2 y U =3.
b) Calcule y represente el vector

U en los puntos A=(1,0,0), B=(1,1,0) y C=(1,1,1)

16. Un dipolo el´ctrico (dos cargas iguales y de signo contrario separadas por una distancia)
e
est´n formado por dos cargas de...