Ing. Mecánico

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
Maestría en Diseño, Producción y
Automatización Industrial

DISEÑO y
ELEMENTOS FINITOS

FLEXION DE VIGAS
Iván Zambrano Orejuela
Adolfo Costta
Marcelo Silva

Junio 2009

Maestría en Diseño, Producción y Automatización Industrial

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN
UNA ESTRUCTURA RETICULADA PLANA

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO
PARA UNABARRA DE PÓRTICO PLANO EN
COORDENADAS LOCALES

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Se obtiene las fuerzas debido a la flexión en términos de sus
desplazamientos y sus giros usando la ecuación:

EIv IV = w( x)
Donde:
w = carga distribuida
(que en este caso es nula)
E = Módulo de elasticidad
I = Momento de inercia
v = d fl iódeflexión

Se trata de un problema estáticamente indeterminado

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
De la teoría de la Mecánica de Sólidos conocemos:
v( x)

deflexión

dv( x)
= θ ( x)
dx
d

giro

d 2 v( x)
EI
= M ( x)
d 2x
d 3v( x) dM ( x)
EI
=
= V ( x)
d 3x
dx
d 4 v( x) dV ( x)
EI
=
= w( x)
d 4x
dx

momentopor la curvatura de la viga

fuerza corte transversal

ecuación deflexión de la viga

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Asumiendo una carga w(x)=0 e integrando:

EIv IV = w( x) = 0
v IV = 0
Las dos ecuaciones adicionales se obtiene integrando y aplicando
condiciones de borde:

v III = C1
Una i
U primera condición es enx=0 d d l carga d corte es Py1
di ió
0 donde la
de
t
y usando la relación

EIv III (0) = v = Py1

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
v III =

Despejando:

v =
II

Integrando se tiene:

Py1
EI

Py1 x
EI

+ C2

Segunda condición de borde en x = 0 existe un momento
borde,

–M1
M

Py1 x

M1
v =
−
EI
EI
IIIntegrando:

Py1 x 2

M1x
v =
−
+ C3
2 EI
EI
I

Py1 x 3

Volviendo a integrar:

M1x2
v=
−
+ C 3x + C 4
6 EI
2 EI

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Ahora usamos las condiciones de borde en x = 0 para obtener C3 y
C4 las cuales son:
vl (0) = θ
1

v(0) = v1

M 1 (0)
v (0) = θ1 =
−
+ C3
2 EI
EI
C 3 =θ1
I

Reemplazamos estas
condiciones, resolvemos
y encontramos C3 y C4

Py1 (0) 2

Py1 (0)3

M1 ( )2
(0)
v(0) = v1 =
−
+ θ1 (0) + C 4
6 EI
2 EI
C 4 = v1

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Ahora usamos las condiciones de borde en x = L para encontrar las
reacciones y los momentos:

v I ( L) = θ 2
v( L) = v2Resolución d l sistemas d ecuaciones ( di ió sustracción y sustitución):
R
l ió del i t
de
i
(adición,
t
ió
tit ió )

v ( L) = θ 2 =
I

v ( L ) = v2 =

P

( L)2
y1
2 EI

Py1 ( L ) 3
6 EI

M 1 (L)
−
+ θ1
EI

M 1 ( L)2
−
+ θ1 ( L ) + v1
2 EI

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ANALISIS DE UNA VIGA A FLEXION
Las relaciones entre fuerzas ydesplazamientos pueden expresarse en
forma matricial como:
⎛
⎜
⎧ Px 1 ⎫ ⎜
⎪
⎪
P1 = ⎨ Py 1 ⎬ = ⎜
⎜
⎪M ⎪ ⎜
⎩ 1⎭
⎜
⎜
⎝

EA
L
0
0

⎛ EA
⎜− L
⎧ Px 2 ⎫ ⎜
⎪ ⎪
P2 = ⎨ Py 2 ⎬ = ⎜ 0
⎜
⎪M ⎪ ⎜
⎩ 2⎭
⎜ 0
⎜
⎝

0
12 EI
L3
6EI
L2
0
−

12 EI
L3
6 EI
L2

⎞
⎛
⎟
⎜−
⎟ ⎧ u1 ⎫ ⎜
6EI ⎟ ⎪ ⎪ ⎜
v +
2 ⎟ ⎨ 1 ⎬
⎜
L
⎪θ ⎪ ⎜
⎟
4EI ⎟ ⎩ 1 ⎭ ⎜
⎟
⎜
L ⎠
⎝
0

EA
L

12 EI
L36EI
− 2
L

0

0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L

⎞
⎟
⎟ ⎧u2 ⎫
6EI ⎟ ⎪ ⎪
v
2 ⎟ ⎨ 2 ⎬
L
⎪ ⎪
⎟ ⎩θ 2 ⎭
2EI ⎟
⎟
L ⎠
0

−

0

⎞
⎛ EA
⎟
⎜
u1 ⎫ ⎜ L
⎟⎧
6 EI ⎟ ⎪ ⎪ ⎜
− 2 ⎨ v1 ⎬ + 0
L ⎟⎪ ⎪ ⎜
⎟ θ
⎜
2 EI ⎟ ⎩ 1 ⎭ ⎜
⎟
⎜ 0
L ⎠
⎝
0

0

⎞
⎟
⎟ ⎧u 2 ⎫
6 EI ⎪ ⎪
− 2 ⎟ ⎨ v2 ⎬
L ⎟⎪ ⎪
⎟ θ
4 EI ⎟ ⎩ 2 ⎭
⎟
L ⎠
0

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