Ing. Mecánico

Producto interno en un espacio vectorial
Una función ������: ������ × ������ → ������ es un producto interno (interior
o escalar) en un espacio vectorial ������ sobre el campo ������ , sisatisface las siguientes propiedades




⟨������������ + ������������̅ |������ = ������⟨������|������ + ������⟨������̅ |������ (Linealidad)
�
�⟩
� �⟩
�⟩
⟨������|������̅ ⟩ = ⟨������̅ |������(Simetría)
�
�⟩
⟨������|������ > 0, ������ ≠ 0 (Positividad)
� �⟩
��

El producto interno introduce los conceptos de magnitud,
distancia y ángulo en un espacio vectorial. Los espacios
vectorialescon estas propiedades se llaman espacios prehilbertianos.

EJEMPLO. En el espacio vectorial ℝ2 el producto interno usual es el producto punto, sin
embargo puede definirse otro producto como⟨(������ , ������)|(������ , ������)⟩ = 2������������ + 3������������

Linealidad:

Simetría:

⟨������(������ , ������) + ������ (������ , ������ )|(������ , ������)⟩ = ������⟨(������ , ������)|(������ ,������)⟩ + ������⟨(������ , ������ )|(������ , ������)⟩
⟨(������������ + ������������ , ������������ + ������������ )|(������ , ������)⟩ = ������ (2������������ + 3������������) + ������ (2������������ +3������������)
2(������������ + ������������ )������ + 3(������������ + ������������ )������ =
2������������������ + 2������������������ + 3������������������ + 3������������������ =
⟨(������ ,������)|(������ , ������)⟩ = ⟨(������ , ������)|(������ , ������)⟩
2������������ + 3������������ = 2������������ + 3������������

Positividad:

⟨(������ , ������)|(������ , ������)⟩ > 0
2������ · ������ + 3������ · ������ >2������2 + 3������ 2 >

Las tres propiedades se cumplen, por lo tanto la función es un producto interno.
1

Elaboró: Ing. Aldo Jiménez Arteaga

Álgebra Lineal - Espacios con Producto Interno2012

Las propiedades adicionales del producto interno son:






⟨������|������̅ ⟩ = �������, si los vectores pertenecen a un espacio vectorial...