Ing. mecatronica

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Algoritmos para el análisis
de redes.
El disponer de herramientas computacionales que resuelvan
sistemas de ecuaciones no lineales dinámicos y que permitan
desplegar las formas de ondas de las respuestas, puede llevar a
desconocer la forma en que estas herramientas ocupan los
conceptos y teorías en que están basad as.
Se desea usar herramientas computacionales para resolver
losproblemas matemáticos asociados a la teoría de redes y a la
vez ilustrar en qué aspectos de la teoría están basados los
programas y aplicaciones de análisis de redes de tipo
electrónicas.
A partir de la teoría básica de las redes eléctricas se
modelará la red en términos de un sistema de ecuaciones.
Debido a los diferentes modelos matemáticos de representación,
primero se expondrán losalgoritmos numéricos simplificados,
para resolver:
un sistema algebraico de ecuaciones,
un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden,
un sistema de ecuaciones no lineales,
la linealización de un sistema no lineal para señales
pequeñas en comparación con los valores de polarización.
A través de Maple se ilustrarán algoritmos simplificados que
realizan las mismas funciones que lossofisticados algoritmos
internos que emplea SPICE para los diferentes análisis que
efectúa.
La reproducción de los ejemplos propuestos frente a un
computador permite la asimilación más rápida de los conceptos
que se exponen.

Profesor Leopoldo Silva Bijit

30/12/2009

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Algoritmos para el análisis de redes.

1. Métodos de análisis para redes estáticas.
Están basados en resolver un sistemalineal de ecuaciones.

1.1. Formulación de ecuaciones.
La siguiente red se estudia en condiciones estacionarias. Si
existieran condensadores éstos se reemplazan por circuitos
abiertos; los inductores por cortocircuitos. Las resistencias se
consideran elementos lineales.

R1

1
i01

v1

R3

2

3

R5

4

I(R2)

E

v2

R4

R2

v3 R6

v4

0

Figura 1. Redresistiva.
Aplicando método nodal, considerando una
adicional por cada fuente de tensión se obtienen:

i01 (v1 v2 ) / R1
v1

incógnita

0

E

(v2 v1 ) / R1 v2 / R2 (v2 v3 ) / R3

0

(v3 v2 ) / R3 v3 / R4 (v3 v4 ) / R5

0

(v4 v3 ) / R5 v4 / R6

0

Además de las cuatro incógnitas de los voltajes de nodos,
aparece la corriente i01 en la fuente de tensión.
Expresando en formamatricial, se obtiene:

Profesor Leopoldo Silva Bijit

30/12/2009

Teoría de Redes Eléctricas.

1
0
0

3

1
R1

1
R1

0

0

1
1
R1

0
1
R2

0
1
R3

0

1
R1

0

0

1
R3

0

0

1
R3
1
R3

1
R4

0

0
1
R5

1
R5

1
R5
1
R5

i01
v1
v2
v3
v4

0
E
0
0
0

1
R6

La matriz de coeficientes resulta no simétrica y no densa(sparse en inglés); es decir, con numerosos elementos con valor
cero.

1.2. Modelo matemático.
Si se aplica método nodal con modificaciones, para tratar
fuentes de voltajes controladas e independientes, se obtiene un
sistema de ecuaciones, del tipo:

Ax

b

Donde A es la matriz nodal aumentada, x es el vector de
incógnitas y b el vector de excitaciones.
Existen dos esquemasgenerales para resolver sistemas
lineales de ecuaciones: Métodos de eliminación directa y
Métodos Iterativos. Los métodos directos, están basados en la
técnica de eliminación de Gauss, que mediante la aplicación
sistemática de operaciones sobre los renglones transforma el
problema original de ecuaciones en uno más simple de resolver.
De entre los variados esquemas, basados en la eliminación
deGauss, el método de descomposición en submatrices
triangulares (LU, de Lower y Upper) es preferentemente
empleado en implementaciones computacionales , para sistemas
de menos de 300 ecuaciones.

Profesor Leopoldo Silva Bijit

30/12/2009

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Algoritmos para el análisis de redes.

Para sistemas de un mayor número de ecuaciones se
emplean métodos iterativos.
La mayoría de estos...