Ing. Mecatrónico

Ecuaciones Diferenciales

Problema de proyecto y para discusión.

Supongamos que la ecuación diferencial de primer orden y’ = f(x,y) posee una familia uniparametrica de resultados, y que f(x,y)satisface la hipótesis del teorema de existencia y unicidad, en alguna región rectangular R del plano xy. ¿Por qué dos curvas solución no se pueden intersectar o ser tangentes entre si en un punto(x0, y0) en R?



R = Si garantizamos la existencia y unicidad de la EDO (Sí f(x,y) & dy/dx son continuas en R entonces existe un intervalo I) por cada punto (x0, y0) en R, pasa una sola curvasolución.
Por lo tanto 2 curvas solución no pueden ser intersectadas ya que el teorema de existencia y unicidad representa una función única para xy en una región única en el plano.
 
ActividadIndividual.

Ecuación diferencial por separación de variables


y’ = 3x(y+4)²

dy/dx = 3x(y+4)²

dy/(y+4)² = 3xdx

∫dy/(y+4)² = ∫3xdx

∫(y+4)ˉ²dy = ∫3xdx

(y+4)ˉ¹/-1 = 3x²/2 + C

-1/y+4 =3x²/2 + C

-1/y+4 = (3x²+C)/2

-2 = (y+4)(3x²+C)

-2/3x²+C = y + 4

(-2/3x²) -4 = y

y = (-2/3x²) -4

 
Ecuaciones Diferenciales Lineales con valores iniciales

dy/dx = e²ᵡ+³ᵞy(0) = 0

dy/dx = e²ᵡ • e³ᵞ

dy/ e³ᵞ = e²ᵡ • dx

eˉ³ᵞ • dy = e²ᵡ • dx

∫eˉ³ᵞ • dy = ∫e²ᵡ • dx

(1/-3)eˉ³ᵞ = (1/2) e²ᵡ + C

Multiplicar por 6

-2 eˉ³ᵞ = 3 e²ᵡ + C (SoluciónGeneral)

y(0) = 0

-2 eᵒ = 3 eᵒ + C

-2 = 3 + C

C = -5

-2 eˉ³ᵞ = 3 e²ᵡ - 5 (Solución Particular)

eˉ³ᵞ = (3 e²ᵡ - 5)/ -2

Multiplicar por -1

eˉ³ᵞ = (5 - 3 e²ᵡ)/ -2

Ln eˉ³ᵞ = Ln (5- 3 e²ᵡ)/ -2

-3y = Ln (5 - 3 e²ᵡ)/ -2

Y = 1/-3 Ln (5 - 3 e²ᵡ)/ -2
 
Ecuaciones Exactas

(5x+4y)dx + 4x – 8y³ = 0

∂M/∂y = 4 ∂N/∂x = 4 (Exacta)

F(x,y) = ∫(5x+4y)dx + h(y) =5x²/2 + 4xy + h(y)

∂F/∂y = 4x-8y³
4x-8y³ = 4x-h’(y)
∂F/∂y = 4x-h’(y)
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4x-8y³ = 4x-h’(y)

h’(y) = -8y³

∫ h’(y) =...