Ing. Químico
Páginas: 2 (387 palabras)
Publicado: 23 de marzo de 2013
PROBLEMAS DE ANÁLISIS
⎧3 − ax 2 si x ≤ 1
⎪
1.- Siendo f(x) = ⎨ 2
.
si x > 1
⎪ ax
⎩
Se pide:
a) ¿Para que valores del parámetro a es continua la función?
b) ¿Para que valores de a esderivable?
Sol.: a) a=1 ó a=2; b) a=1
2.a) Deriva y simplifica lo máximo posible y = arctg
1+ x
.
1− x
b) Halla la derivada enésima de y = a x ln a , a ∈ ℜ.
1
Sol.: a) y ' =
; b) y n ) = ax (ln a ) n +1
2
1+ x
f (x ) =
3.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función
la recta 3x+y− 2=0.
Sol.: y − 1 = −3x; y +
x3
− x 2 − 3x + 1 paralelas a
319
= −3(x − 2).
3
4.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R , para que el área lateral
del cilindro sea máxima.
2R
, h = 2R
2
Sol.: r =5.- Calcular los límites:
a ) lim
x →0
( 2 − x )e x − (2 + x )
x2
b)lim(2 − x )1− x
1
x →1
Sol.: a) 0, b) e.
6.- Calcular las integrales:
∫(
)
a ) x 2 + 1 sen 2xdx b)∫
5x + 3
dx
16 − 9x 2
2x + 3
dx
dx
d) 2
c) 2
x + 2x + 1
x + x +1
⎛ 2x + 1 ⎞
x2 +1
x
1
2
⎟+C
a) −
cos 2 x + sen 2x + cos 2x + C c)
arctg ⎜
⎜
⎟
2
2
4
3
⎝ 3⎠
Sol.:
5−1
⎛ 3x ⎞
b) −
16 − 9 x 2 + arcsen ⎜ ⎟ + C
d)
+ 2 ln x + 1 + C
9
x +1
⎝4⎠
(
∫
)
7.- Dada la función y =
x2 − 4
, se pide:
x +1
∫
Sol.:
a) Asíntotas.
b) Estudiar lamonotonía.
c) Curvatura.
d) Gráfica de la función.
1
8.- Calcula el área limitada por la curva y=lnx , el eje OX y la recta tangente a dicha curva en el punto de
abscisa e.
e−2
Sol.:
2
⎡x
⎤1
−
9.- Calcula: lim ⎢
⎥
x →1 ln x
sen( x − 1) ⎦
⎣
3
Sol.:
2
10.- Sea f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + 7 . Hallar a y b de manera que la curva y=f(x) tenga para x=1 una inflexión con
tangentehorizontal.
Sol.: a=−3 y b=3.
11.- Calcular lim
x →0
Sol.: −
1
2
12.- Calcular
Sol.:
ln(x + 1) − sen x
x sen x
∫
x3 − x 2 + 1
dx
x 2 − 5x + 6
x2
+ 4x − 5 ln x − 2 +...
⎧3 − ax 2 si x ≤ 1
⎪
1.- Siendo f(x) = ⎨ 2
.
si x > 1
⎪ ax
⎩
Se pide:
a) ¿Para que valores del parámetro a es continua la función?
b) ¿Para que valores de a esderivable?
Sol.: a) a=1 ó a=2; b) a=1
2.a) Deriva y simplifica lo máximo posible y = arctg
1+ x
.
1− x
b) Halla la derivada enésima de y = a x ln a , a ∈ ℜ.
1
Sol.: a) y ' =
; b) y n ) = ax (ln a ) n +1
2
1+ x
f (x ) =
3.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función
la recta 3x+y− 2=0.
Sol.: y − 1 = −3x; y +
x3
− x 2 − 3x + 1 paralelas a
319
= −3(x − 2).
3
4.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R , para que el área lateral
del cilindro sea máxima.
2R
, h = 2R
2
Sol.: r =5.- Calcular los límites:
a ) lim
x →0
( 2 − x )e x − (2 + x )
x2
b)lim(2 − x )1− x
1
x →1
Sol.: a) 0, b) e.
6.- Calcular las integrales:
∫(
)
a ) x 2 + 1 sen 2xdx b)∫
5x + 3
dx
16 − 9x 2
2x + 3
dx
dx
d) 2
c) 2
x + 2x + 1
x + x +1
⎛ 2x + 1 ⎞
x2 +1
x
1
2
⎟+C
a) −
cos 2 x + sen 2x + cos 2x + C c)
arctg ⎜
⎜
⎟
2
2
4
3
⎝ 3⎠
Sol.:
5−1
⎛ 3x ⎞
b) −
16 − 9 x 2 + arcsen ⎜ ⎟ + C
d)
+ 2 ln x + 1 + C
9
x +1
⎝4⎠
(
∫
)
7.- Dada la función y =
x2 − 4
, se pide:
x +1
∫
Sol.:
a) Asíntotas.
b) Estudiar lamonotonía.
c) Curvatura.
d) Gráfica de la función.
1
8.- Calcula el área limitada por la curva y=lnx , el eje OX y la recta tangente a dicha curva en el punto de
abscisa e.
e−2
Sol.:
2
⎡x
⎤1
−
9.- Calcula: lim ⎢
⎥
x →1 ln x
sen( x − 1) ⎦
⎣
3
Sol.:
2
10.- Sea f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + 7 . Hallar a y b de manera que la curva y=f(x) tenga para x=1 una inflexión con
tangentehorizontal.
Sol.: a=−3 y b=3.
11.- Calcular lim
x →0
Sol.: −
1
2
12.- Calcular
Sol.:
ln(x + 1) − sen x
x sen x
∫
x3 − x 2 + 1
dx
x 2 − 5x + 6
x2
+ 4x − 5 ln x − 2 +...
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